Для вычисления площади вписанного четырехугольника можно использовать формулу:

[
S = r \cdot p,
]

где ( S ) — площадь четырехугольника, ( r ) — радиус вписанной окружности (в данном случае 5 см), а ( p ) — полупериметр четырехугольника.

Так как сумма двух противоположных сторон в описанном четырехугольнике равна 12 см, можно обозначить стороны четырехугольника как ( a, b, c, d ). Тогда можно записать:

[
a + c = 12 \quad \text{и} \quad b + d = 12.
]

Полупериметр ( p ) определяется как:

[
p = \frac{a + b + c + d}{2} = \frac{(a + c) + (b + d)}{2} = \frac{12 + 12}{2} = 12 \text{ см}.
]

Теперь мы можем подставить значение ( p ) и ( r ) в формулу площади:

[
S = r \cdot p = 5 \cdot 12 = 60 \text{ см}^2.
]

Итак, площадь четырехугольника составляет ( 60 \text{ см}^2 ).