Короткий ответ: это радикальная ось данных двух окружностей (прямая, перпендикулярная к прямой, соединяющей центры).

Доказательства двух способами.

1) Координатный способ.
Пусть центры данных окружностей A(a1,a2), B(b1,b2), радиусы r1 и r2. Пусть X(x,y) — центр искомой окружности радиуса ρ, которая ортогональна обеим данным. Ортогональность даёт для каждой пары центров условие
|XA|^2 = ρ^2 + r1^2, |XB|^2 = ρ^2 + r2^2.
Вычитая второе из первого, получаем
|XA|^2 − |XB|^2 = r1^2 − r2^2.
Раскрыв квадраты,
2(B−A)·X + (|A|^2 − |B|^2) = r1^2 − r2^2,
то есть X удовлетворяет линейному уравнению — это прямая. Переписав в более привычном виде,
|XA|^2 − r1^2 = |XB|^2 − r2^2,
мы получаем условие равенства степеней точки X относительно двух окружностей, т.е. X лежит на радикальной оси этих окружностей. Если поставить A=(0,0), B=(d,0), то получается вертикальная прямая
x = (r1^2 − r2^2 + d^2)/(2d),
явно перпендикулярная AB.

2) Инверсия (геометрическая идея).
Пусть две окружности пересекаются в точках P и Q. Сделаем инверсию с центром в P: обе заданные окружности превратятся в две прямые l1 и l2. Окружность, ортогональная исходным двум окружностям, под инверсией перейдёт в окружность, ортогональную прямым l1 и l2. Геометрически центры таких образов лежат на соответствующих биссектрисах угла между l1 и l2; обратное отображение этих биссектрис даёт прямые в исходной плоскости — именно радикальную ось исходных окружностей. (Угловое соотношение и свойство равенства степеней при инверсии обеспечивают совпадение с радикальной осью.)

Вывод: множество центров всех окружностей, ортогональных двум заданным (пересекающимся) окружностям с разными радиусами, — одна прямая, а именно их радикальная ось (перпендикулярная к прямой, соединяющей центры; формула положения точки пересечения с линией центров дана выше).