Рассмотрим тетраэдр ABCD, в котором три рёбра, исходящие из вершины A, попарно ортогональны. Поместим A в начало декартовой системы координат и направим рёбра AB, AC, AD вдоль осей OX, OY, OZ соответственно:

A = (0,0,0),B = (a,0,0) (|AB| = a),C = (0,b,0) (|AC| = b),D = (0,0,c) (|AD| = c),
где a,b,c > 0. Это общий вид таких тетраэдров (до изометрии).

Длины рёбер

AB = a, AC = b, AD = c.BC = sqrt(a^2 + b^2), BD = sqrt(a^2 + c^2), CD = sqrt(b^2 + c^2).
Отсюда очевидное тождество для сумм квадратов противоположных рёбер:
AB^2 + CD^2 = AC^2 + BD^2 = AD^2 + BC^2 = a^2 + b^2 + c^2.
(Это следует просто из подстановки.)

Площади граней
Три грани, прилегающие к A, — прямоугольные треугольники:

S_{ABC} = (1/2) a b,S_{ABD} = (1/2) a c,S_{ACD} = (1/2) b c.

Площадь противоположной вершине A грани BCD:
S_{BCD} = (1/2) |BC × BD| = (1/2) sqrt(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2).

Замечательное соотношение площадей:
S{BCD}^2 = S{ABC}^2 + S{ABD}^2 + S{ACD}^2.
То есть квадрат площади «противоположной» грани равен сумме квадратов площадей трёх граней, исходящих из A. Это — пространственный аналог теоремы Пифагора для площадей в таком «правом» тетраэдре (легко выводится из выражений выше).

Объём и инрадиус
Объём:
V = (1/6) |det(AB, AC, AD)| = (1/6) a b c.

Если тетраэдр имеет вписанную сферу (в нашем случае она всегда существует в единственном экземпляре, см. далее), её радиус r (расстояние от центра сферы до каждой грани) равен
r = 3V / S_total,
где S_total — суммарная площадь всех граней. Подставляя V и выражения площадей, получаем явную форму
r = abc / (ab + ac + bc + sqrt(a^2 b^2 + a^2 c^2 + b^2 c^2))
(взята без множителя 1/2, т.к. он сокращается). Эквивалентно можно записать
r = 1 / (1/a + 1/b + 1/c + sqrt(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)).

Геометрическое место точек внутри тетраэдра, равноудалённых от всех граней
Пусть P = (x,y,z) — внутренняя точка. Расстояния до трёх граней, содержащих A, равны соответственно z, y, x (потому что эти грани заданы плоскостями z=0, y=0, x=0). Равенство расстояний до этих трёх граней даёт x = y = z = d. Тогда расстояние от P до грани BCD (плоскость x/a + y/b + z/c = 1) равно
(1 − d(1/a+1/b+1/c)) / sqrt(1/a^2+1/b^2+1/c^2).
Уравняв это с d и решив относительно d, получаем единственное положительное решение
d = r = 1 / (1/a + 1/b + 1/c + sqrt(1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2)).
Таким образом геометрическое место точек внутри тетраэдра, равноудалённых от всех четырёх граней, состоит из одной точки — центра вписанной сферы (incenter). В координатах: P = (r, r, r).

Замечания:

Для данного типа тетраэдра инцентр лежит на луче из A в направлении (1,1,1) (т.е. на линии x=y=z), но вообще не совпадает с центроидом грани BCD (он лежит в направлении (a,b,c)).Формула r = 3V / S_total применима для любого тетраэдра, обладающего вписанной сферой; в нашем случае решение гарантированно даёт точку внутри тетраэдра.

Дополнительные замечательные свойства

Простые формулы для площадей и объёма облегчают расчёты (S трёх «правых» граней — продукт полусовин).Соотношение площадей (см. выше) может служить быстрым тестом, что тетраэдр имеет три взаимно перпендикулярных ребра из одной вершины.

Применения в архитектуре и конструкциях
Тетраэдры, у которых три рёбра из одного узла попарно перпендикулярны, удобны для практических конструкций:

Узел «A» — естественная точка соединения трёх перпендикулярных элементов (балок), что удобно при проектировании сложных металлических или деревянных каркасов (модульные металлические узлы, стыковка перекрытий, колонн и раскосов).Тетраэдральные модули используются в пространственных ферм и решётчатых оболочках: простые прямоугольные рёбра облегчают изготовление и сборку (правые треугольные грани — стандартные панели).Центр вписанной сферы (равноудалённая точка) естествен для установки оборудования, светильника или опорной стойки, одинаково удалённой от всех граней — полезно для равномерного распределения освещения или акустики.Такие модули хороши для сборных павильонов, скульптур, кинетических конструкций и временных навесов: высокая жёсткость при малом весе, простота повторяющихся фасет.В тензорных и пространственных конструкциях (tensegrity, spaceframes) элементы с ортогональными связями упрощают расчёт и монтаж, особенно при использовании стандартных узлов и профилей.

Коротко: тетраэдр с тремя взаимно перпендикулярными рёбрами — удобная и симметричная единица: простые формулы для длин, площадей и объёма; уникальный инцентр (r, r, r); практичная модульность для архитектурных и инженерных задач.

Если хотите, могу:

привести доказательство соотношения площадей в векторной форме;построить график/схему (координаты, размеры) для реальной несущей конструкции;рассчитать конкретный пример (например a=3, b=4, c=5) с численными значениями площадей, объёма и радиуса вписанной сферы.