Нужно небольшое уточнение перед строго-математическим разбором — фраза «одна диагональ пересекается с касательными в точках касания» может быть истолкована по-разному. Пожалуйста, подтвердите, что вы имеете в виду один из вариантов ниже (или пришлите рисунок/описание, какие именно касательные и какие точки касания):

Вариант A (вероятно самый естественный). ABCD — четырёхугольник, описанный около данной окружности (то есть у него есть вписанная окружность радиуса r). В каждой стороне есть точка касания окружности. Требуется рассмотреть ситуацию, когда диагональ AC проходит через две точки касания окружности с двумя сторонами (например, через точку касания на стороне AB и через точку касания на стороне CD). (Этот вариант означает, что две точки касания и A,C лежат на одной прямой.)

Вариант B. Диагональ пересекает (как прямая) касательные к окружности, проведённые в точках касания сторон; то есть, например, прямые AB и CD (которые сами являются касательными) пересекаются с диагональю в своих точках касания. (Но в обычном невырожденном вписанном четырёхугольнике диагональ пересекает сторону не в точке касания, а в вершине — потому этот вариант маловероятен.)

Вариант C. Речь о касательных к окружности в точках касания противоположных сторон (вроде касательной в точке на AB и касательной в точке на CD), и диагональ как-то пересекает эти касательные в этих точках — опять же требует уточнения.

Если подтвердите или укажете рисунок, я дам подробный разбор. Ниже — полезные общие факты и направления исследования, а также естественные обобщения на n‑угольники, которые пригодятся независимо от точной постановки.

1) Базовые свойства описанного (тangential) n‑угольника

Для описанного (вокруг окружности радиуса r) четырёхугольника действует теорема Пито: AB + CD = BC + DA. Для общего n‑угольника с вписанной окружностью существует система неотрицательных «длин касательных» x1,...,xn (у вершины i две прилегающие касательные равны xi), и длины сторон si = xi + xi+1 (индексы по модулю n).Площадь S = r · p, где p — полупериметр (точнее S = r * (периметр/2)). Для фиксированного r, величина полупериметра p задаёт площадь.У всех описанных n‑угольников биссектрисы углов сходятся в центре вписанной окружности O; соответственно каждый внутренний угол αi связан с соседними касательными через отношения cot(αi/2).

2) Параметризация семейства при фиксированном r

У описанного n‑угольника есть степень свободы n (в общем: выбираем x1,...,xn > 0 произвольно, получаем стороны si = xi + xi+1). Если мы фиксируем, например, последовательность углов, то при заданном r стороны определяются формулами со знаменателями cot(α/2): конкретно сторона между углами A и B равна r (cot(A/2) + cot(B/2)). Это удобно: задав внутренние углы αi (сумма = (n−2)π), получаем стороны ∝ r.Для четырёхугольника с вписанной окружностью свободных параметров обычно два (после учета равенства сумм противоположных сторон и фиксированного r остаются 2 свободные величины): можно задавать два угла или два касательных xi.

3) Диагонали и касательные — какие дополнительные условия дают?

Если на диагонали AC лежат две точки касания (вариант A), это накладывает линейные условия на касательные xi. В терминах касательных: пусть t1,..,t4 — касательные у вершин A,B,C,D; тогда стороны: AB = t1+t2, BC = t2+t3, CD = t3+t4, DA = t4+t1. Точки касания на сторонах AB и CD делятся на соответствующие отрезки: требование, что AC проходит через точку касания на AB даёт соотношение геометрических положений (коллинеарность точек A, точка касания на AB и точка касания на CD и C). Это сводится к двум уравнениям на t_i и/или на углы. Как следствие семейство таких четырёхугольников имеет одну дополнительную степень свободы меньше: вместо двумерного — одномерное семейство (параметрная кривая).Частные случаи: если дополнительные условия симметричны, получается симметрия четырёхугольника (две равные смежные касательные дают кайт/дельтоид, противоположные — параллелограмм/ромб и т. п.). Конкретно, если t1 = t4 и t2 = t3, то ABCD — равнобедренный кайт с осью симметрии, совпадающей с диагональю AC.

4) Угловые и симметрические свойства

В любом вписанном (описанном) четырехугольнике биссектрисы приходят в O. Если диагональ выполняет условие «проходит через точки касания», то часто диагональ будет являться осью симметрии (в частных случаях) или биссектрисой углов в вершинах A и C. Можно показать (в соответствующей постановке) равенство половин углов, например ∠A/2 и ∠C/2 связаны, и из этого следует равенство cot(∠A/2) и т.п., что даёт равенства касательных.Если добавочное условие даёт t1 = t3 или t2 = t4, то появляются отражательные симметрии относительно диагонали, тогда диагональ — медиана для противоположных сторон и/или угол делится пополам.

5) Подходы к исследованию для фиксированного r

Параметризация через касательные xi (неотрицательные) и запись уравнений коллинеарности точек касания с диагональю. Это даёт систему уравнений первой степени в xi (возможно дробных), которую можно свести к одному параметру.Параметризация через углы: задать два угла α, β; потом длины сторон через r (s = r(cot α/2 + cot β/2)). Коллинеарность/проход диагонали через точки касания переводится в соотношения между α,β, откуда можно получить траекторию в пространстве углов.Аналитически удобен векторный/координатный подход: поместить окружность радиуса r в начало, выразить касательные линии с заданными углами, найти координаты точек касания и вершин как пересечения соседних касательных; затем записать уравнение прямой AC и условие, что она проходит через соответствующие точки касания.

6) Обобщение на n‑угольники

Для общего n условие «диагональ проходит через точки касания» естественно обобщается: можно требовать, чтобы некоторая диагональ (или диагонали) проходила через один или несколько точек касания. В терминах касательных xi это даёт линейные соотношения между xi, поэтому пространство возможных xi (положительный ортант) пересекается с подпространством линейных уравнений — получается семейство меньшей размерности (обычно размерность уменьшается на число независимых условий).Структурно: множество всех вписанных n‑угольников при фиксированном r параметризуется позитивными касательными xi > 0, i = 1..n. Условие «k независимых коллинеарностей/проходов диагоналей через точки касания» даёт k линейных условий на xi, т.е. семействo уменьшает измерение на k.Симметрические решения (xi с периодом m) приводят к m‑периодическим многогранникам с осями симметрии, возможны киты общего типа, многокрылые фигуры и т. п.

7) Частный интерес: бикруговые (bicentric) четырёхугольники

Если четырёхугольник имеет и вписанную, и описанную окружности (bicentric), то существует строгая связь между углами (формула Понсагора/Фусс) и параметризация через r и R. Такие фигуры занимают подмножество всех вписанных фигур и часто обладают дополнительными симметриями; они удобны как примеры.

8) Что можно сделать дальше (конкретные результаты, которые я могу вывести, если вы уточните постановку)

Вывести точные уравнения для касательных ti при условии, что диагональ AC проходит через две заданные точки касания (вариант A): найдём одномерное семейство решений, изучим монотонность углов и условие симметрии (когда квадрат или ромб).Построить аналитическую формулу для углов через парамет (например, через один касательный t1) и показать, при каких значениях возникает симметрия (t1 = t3 и т. п.).Обобщить на n‑угольники: доказать, что требование «m независимых диагоналей проходят через заданные точки касания» даёт семейство размерности n−m, и привести примеры симметрических решений.

Сделаю дальнейший детальный вывод и чертежи, если вы подтвердите, какой именно геометрический вариант вы имели в виду (например: «диагональ AC проходит через точки касания с AB и CD» — Вариант A).