Пусть для фиксированного треугольника ABC рассматривается функция на множестве точек P внутри (или в замкнутой области) треугольника
f(P) = PA + PB + PC.
Нужно изучить положение экстремумов f и методы их нахождения.

Ключевые факты (итоговые утверждения)

f непрерывна и выпукла (сумма выпуклых функций расстояний). На компактной выпуклой области (замкнутый △ABC) f имеет минимум и максимум.

Минимум.

Если все углы треугольника ABC строго меньше 120°, то f достигает единственного глобального (и единственного локального) минимума в единственной внутренней точке — точке Ферма–Торричелли (Fermat point). В этой точке три луча FA, FB, FC исходят под углами 120°: ∠AFB = ∠BFC = ∠CFA = 120°. Эквивалентная аналитическая запись условия стационарности:
(P−A)/|P−A| + (P−B)/|P−B| + (P−C)/|P−C| = 0.Если какой‑либо угол треугольника ≥ 120° (например, ∠A ≥ 120°), то минимум достигается в соответствующей вершине (в нашем примере в A). Внутри треугольника не существует точки с суммой углов 120°, поэтому внутренняя стационарная точка отсутствует, и наименьшее значение достигается на вершине с углом ≥ 120°.

Максимум.

Поскольку f — выпуклая функция на выпуклом множестве, внутренних локальных максимумов у неё нет. Максимум на замкнутом треугольнике достигается на вершинах треугольника. Значения в вершинах равны сумме двух сторон, сходящихся в этой вершине:
f(A) = AB + AC, f(B) = BA + BC, f(C) = CA + CB.
Глобальный максимум — в той вершине, для которой сумма двух прилегающих сторон наибольшая.

Локальные экстремумы.

Локальных максимумов внутри (внутри открытого треугольника) нет. На границе — вершины, указанные выше, являются глобальными максимумами (возможно несколько, если суммы равны).Локальный минимум, если есть в interior, автоматически глобальный и единственный (выпуклость/строгая выпуклость функции исключают другие локальные минимумы). Если угол ≥120°, локальный минимум совпадает с глобальным и находится в соответствующей вершине.

Геометрические методы нахождения минимума (конструкции)

Классическая конструкция Ферма (для случая всех углов < 120°).

Построить на двух сторонах треугольника (скажем, на AB и AC) равносторонние треугольники вне исходного △ABC. Соединить вершину одного равностороннего треугольника с противоположной вершиной исходного △. Эти два отрезка пересекаются в точке Ферма. (Стандартная геометрическая конструкция даёт точку с углами 120° к вершинам.)

Отражение/развёртка (интуиция).

Для задачи минимизации суммы длин путей (аналогично принципу наименьшего пути) используют повороты на 60° вокруг вершин или отражения; это даёт конструкцию обучения минимальным углам 120°.

Аналитические и численные методы

Стационарное условие (векторное):
∑_{X∈{A,B,C}} (P−X)/|P−X| = 0.
Это система векторов единичной длины; если решение внутри, то три вектора направлены под 120° друг к другу.

Чисто численно — алгоритм Вайсфельда (Weiszfeld) для геометрической медианы (веса = 1):
P_{n+1} = (A/|A−P_n| + B/|B−P_n| + C/|C−P_n|) / (1/|A−P_n| + 1/|B−P_n| + 1/|C−P_n|).
Этот итерационный метод сходится к геометрической медиане (за исключением случая, когда текущая точка совпадает с одной из исходных точек; в этом случае решение известно — вершина).

Производная/градиент (аналитически).
f дифференцируема при P ≠ A,B,C; градиент:
∇f(P) = (P−A)/|P−A| + (P−B)/|P−B| + (P−C)/|P−C|.
Решение ∇f(P)=0 — условие стационарности. Используется при численных методах (методы Нелдера–Мида, градиентный спуск с проекцией на треугольник и т. п.).

Доказательные комментарии (кратко)

Единственность: сумма выпуклых функций выпукла; если в треугольнике существует внутренняя точка с нулевым градиентом, то по строгой выпуклости (в большинстве случаев) она единственна и даёт глобальный минимум.Случай угла ≥ 120°: если, скажем, ∠A ≥ 120°, то для любой точки P внутренней или на границе выполняется PA + PB + PC ≥ AB + AC (равенство достигается в A). Это видно, например, из неравенств треугольника и геометрических соображений (перемещение от A в сторону уменьшает сумму).Максимум на вершинах: каждая функция PX (X фиксирована) выпукла, значит и сумма выпукла; выпуклая функция на выпуклом множестве достигает максимум на границе, для треугольника — на вершинах (можно также проверить, что вдоль стороны f линейно ограничена и не больше значений в концах).

Примеры / частные случаи

Равносторонний треугольник со стороной s: минимальная точка — центр (все углы < 120°, центр даёт углы 120° между лучами к вершинам); f_min = 3·R = √3·s. Значения в вершинах f_vertex = 2s — это максимум.Треугольник с углом 130° в A: минимум в A, f_min = AB + AC.

Краткий алгоритм для практики

Проверить, есть ли угол ≥ 120°. Если да → минимум в соответствующей вершине.Иначе: построить точку Ферма (геометрически: через равносторонние треугольники или численно: Weiszfeld/решение ∇f=0).Максимум: вычислить f в вершинах; наибольшее из трёх — глобальный максимум.

Если нужно, могу:

привести более формальные доказательства перечисленных утверждений (строгое доказательство минимальности при ∠≥120°, доказательство равенства углов 120° в точке Ферма),показать по шагам геометрическую конструкцию Ферма с рисунком (описательно),привести код для численного нахождения точки Ферма (итерация Weiszfeld) и примеры.