Пусть (A\ne B). Введём декартову систему так, чтобы координаты точек были (A=( -d,0 ),\; B=( d,0 )) (тогда (AB=2d)). Для произвольной точки (M=(x,y)) имеем
[
MA^2=(x+d)^2+y^2,\qquad MB^2=(x-d)^2+y^2,
]
откуда
[
MA^2-MB^2=(x+d)^2-(x-d)^2=4dx.
]
Условие (MA^2-MB^2=c) даёт
[
x=\frac{c}{4d}.
]
Значит множество точек (M) — прямая, перпендикулярная отрезку (AB), проходящая через точку на линии (AB) с абсциссой (x=\dfrac{c}{4d}) (в выбранной системе). При (c=0) это серединный перпендикуляр к (AB); при (c\ne0) — параллельный ему сдвиг.

Аналитически в координатах без выбора центра: для векторов (A,B,M) имеем
[
|M-A|^2-|M-B|^2=2(B-A)\cdot M+(|A|^2-|B|^2).
]
Условие (=c) эквивалентно линейному уравнению
[
(B-A)\cdot M=\frac{c-(|A|^2-|B|^2)}{2},
]
то есть множествo — прямая с нормалью (B-A), т.е. перпендикулярная (AB).

Особые случаи:

Если (A=B), то (MA^2-MB^2\equiv0). При (c=0) множество — вся плоскость; при (c\ne0) — пусто.Для любых других (c\in\mathbb{R}) при (A\ne B) получается единственная прямая, как указано выше.

Геометрическая интерпретация: разность квадратов расстояний линейно зависит от проекции точки (M) на направление (AB), поэтому уровни этой функции — прямые, перпендикулярные (AB).