Выберу три классических исторических доказательства и кратко опишу их с точки зрения идеи, строгости, простоты восприятия и методических выводов.

1) Доказательство через площади (Эвклид, Elements I.47)

Идея: на каждом катете и на гипотенузе строят квадраты; Эвклид разлагает квадрат на гипотенузе на части и показывает равенство площадей с квадратами на катетах, опираясь на свойства равновеликих треугольников и параллельных прямых.Ключевая формула: (c^2 = a^2 + b^2).Строгость: высокая — доказательство аксиоматично, использует теоремы о равных площадях треугольников (формальный «геометрический» уровень).Простота восприятия: средняя — требует навыка работы с площадями и понимания разбиений; визуально убедительно, но технически нетривиально для новичков.Применение в обучении: хорош для формирования представления о площади как совокупности равновеликих частей; учит строить строгие геометрические обоснования и работать с аксиомами/леммами. Полезно после визуальной мотивации.

2) Доказательство через подобие (через высоту к гипотенузе; классическое)

Идея: в прямоугольном треугольнике опустить высоту (h) на гипотенузу, получить три подобных треугольника. Из соотношений подобия получаются (a^2 = c\cdot d) и (b^2 = c\cdot e) (где (d,e) — отрезки гипотенузы, (d+e=c)), сложив получаем (a^2+b^2=c^2).Ключевые соотношения:
[
\frac{a}{c}=\frac{d}{a}\ \Rightarrow\ a^2 = c d,\qquad
\frac{b}{c}=\frac{e}{b}\ \Rightarrow\ b^2 = c e,
]
[
a^2+b^2 = c(d+e)=c^2.
]Строгость: высокая — опирается на теорию подобия, пропорции и теоремы о высоте в прямоугольном треугольнике.Простота восприятия: средне-высокая для учащихся, знакомых с подобием; идея компактна и алгебраически прозрачна.Применение в обучении: ценнейшее доказательство для развития понятия подобия, пропорций и приёма «разложить проблему на подобные фигуры». Хорошо иллюстрирует связь геометрии и алгебры.

3) Алгебро-геометрическое (перестановочное / «китайское» / доказательство Бхаскары)

Идея: в квадрат со стороной (a+b) вписать четыре равных прямоугольных треугольника (катеты (a,b), гипотенуза (c)), центр — маленький квадрат со стороной (c). Сравнивают площади: общая площадь равна сумме площадей четырёх треугольников и центрального квадрата.Вывод:
[
(a+b)^2 = 4\cdot\frac{ab}{2} + c^2 \quad\Rightarrow\quad a^2+2ab+b^2 = 2ab + c^2,
]
[
\text{отсюда } a^2+b^2=c^2.
]Строгость: невысокая с формальной точки зрения аксиоматической геометрии, но полная с точки зрения площади; короткое и корректное аргументирование.Простота восприятия: очень высокая — наглядно и легко запоминается; сильный визуальный аргумент.Применение в обучении: отличное вступление — мотивирует теорему визуально; тренирует перевод геометрической конструкции в алгебраическое равенство. Хорошо подходит для демонстраций и лабораторных задач.

Сравнение и методические уроки

Идея:
Визуальные (перестановка/квадрат) — конструируют глобальную картину и дают «момент прозрения».Подобие — показывает внутреннюю структуру треугольника и силу пропорций.Эвклид — демонстрирует, как из аксиом выстраивается строгое доказательство через области.Строгость: Эвклид и подобие формально строже; перестановочное доказательство — практично и достаточно строго в терминах площадей, но менее «аксиоматично».Простота восприятия: перестановочное > подобие (при знакомстве с подобием) > эвклидовское (самое техническое).Методические рекомендации:
Начинать с наглядного (перестановочное) для мотивации и интуиции.Затем перейти к доказательству через подобие — чтобы ввести или закрепить понятие подобия и работу с пропорциями.Завершить формализацией в духе Эвклида — для тренировки строгих доказательств и понимания, как опираться на базовые теоремы.На каждом этапе переводить между визуальным, геометрическим и алгебраическим языками (много представлений усиливает понимание).Обращать внимание учеников на типичные ошибки: смешение длин и площадей, неверные рассуждения о подобии без проверки углов, формальные пропуски в разбиении фигур.Вывод: разные доказательства дополняют друг друга — наглядное даёт мотивацию, подобие — технику, эвклидовское — формальную культуру. Преподавание выигрывает, если использовать их в связке, подбирая порядок по уровню подготовленности учащихся.