Коротко и формально — две корректные обобщённые формулировки (с доказательствами в сжатом виде), затем ограничения и приложения.

1) Сферическая теорема Чевы.

Формулировка. Пусть (ABC) — невырожденный треугольник на единичной сфере, стороны — части больших кругов; на сторонах (BC,CA,AB) взяты точки (A_1,B_1,C_1) соответственно. Пусть геодезические (дуги больших кругов) (AA_1,BB_1,CC_1) пересекаются в одиночной точке (конкурируют) внутри треугольника. Тогда выполняется равенство
[
\frac{\sin\angle BAA_1}{\sin\angle CAA_1}\cdot
\frac{\sin\angle CBB_1}{\sin\angle ABB_1}\cdot
\frac{\sin\angle ACC_1}{\sin\angle BCC_1}=1.
]
И обратно: если это равенство (с учётом знаков направлений углов) выполнено, то дуги (AA_1,BB_1,CC_1) либо конкурируют, либо имеют тривиальную «антиподальную» конфигурацию (см. ограничения).

Краткое доказательство. В треугольниках больших кругов применим сферическую теорему синусов. Например в треугольниках (ABA_1) и (ACA_1) имеем
[
\frac{\sin\angle BAA_1}{\sin\angle CAA_1}=\frac{\sin(\widehat{BA_1})/\sin(\widehat{A_1A})}{\sin(\widehat{CA_1})/\sin(\widehat{A_1A})}
=\frac{\sin(\widehat{BA_1})}{\sin(\widehat{CA_1})},
]
и аналогично для других вершин. При конкуренции точек делённые дуги взаимно согласуются, что даёт произведение трёх таких дробей равным (1). Обратное направление получается тем же методом (если произведение равно (1), то совместные равенства синусных соотношений обеспечивают существование точки пересечения). (Технически нужно учитывать знаки направлений углов и исключить случай, когда треугольник и/или один из дугоотрезков покрывает полушарие; в этом случае формула остаётся верной при корректировке знаков.)

Комментарий по ограничениям для сферы: (i) уникальность геодезики между точками нарушается для расстояний ≥π, поэтому все утверждения требуют, как правило, что треугольник и все рассматриваемые дуги лежат в открытом полушарии (или рассматриваются ориентированные дуги больших кругов); (ii) при появлении антиподов возможны дополнительные решения (несколько пересечений), которые учитываются знаком в формуле.

2) Многомерная (симплексовая) теорема Чевы — через барицентры / массы.

Формулировка (евклид., n-мерная). Пусть (S) — невырожденный (n)-симплекс с вершинами (V_0,\dots,V_n). Для каждого (i) возьмём точку (P_i) на противоположном гиперграни (F_i) (грань, не содержащая (V_i)). Тогда отрезки (рёбра) (V_iP_i) конкурентны в точке (X) тогда и только тогда, когда существуют ненулевые веса (массы) (w_0,\dots,w_n) такие, что
для каждого (i)
[
Pi=\frac{\sum{j\ne i} w_j Vj}{\sum{j\ne i} wj},
\qquad\text{а}
\qquad
X=\frac{\sum{j=0}^n w_j Vj}{\sum{j=0}^n w_j}.
]
Иначе говоря, коэффициенты барицентрических координат точек (P_i) относительно граней (F_i) должны совпадать с частными (пропорциями) одних и тех же весов (w_j). Это условие эквивалентно многомерному «произведению отношений» в соответствующих (n−1)-мерных объёмах, но удобнее формулировать через совместные веса.

Краткое доказательство. (Sufficiency) Если заданы (w_j) и (X) как выше, то представление (X) как комбинации даёт, что для каждого (i) проекция (или ограничение) этой барицентрической суммы на грань (F_i) имеет те же относительные коэффициенты между вершинами (V_j, j\ne i), следовательно линия (V_iX) пересекает (F_i) именно в точке (P_i) с формулой выше, значит все (V_iP_i) проходят через общий (X). (Necessity) Если все отрезки пересекаются в (X), возьмём барицентрические координаты (w_j) точки (X) (существуют единственные до множителя); тогда запись координат (X) относительно вершин и разложение по граням дают требуемые формулы для (P_i). Это даёт и мультичленную «продуктовую» форму Ceva при переходе к отношений объёмов: отношения частей граней, определяемых (P_i), равны отношениям соответствующих (w_j), и условие согласованности выражается как равенство произведения соответствующих относительных величин к единице (с учётом ориентаций).

Комментарии по взвешенным граням/многоугольникам. «Взвешенная» версия соответствует назначению масс (w_j) вершинам (метод mass points): тогда точка пересечения определяется как барицентр с этими массами; записи выше дают эквивалент критерия для конкурентности в любом измерении. Для плоского треугольника это даёт классический mass-points Ceva.

Ограничения и замечания:

Для сферической геометрии нужно следить за выбором больших кругов и за ситуациями, когда дуги проходят через антиподы; чаще требуются дополнительные предположения «малого треугольника» (внутри открытого полушария).Многомерная формулировка естественна в евклидовом (или проективном) контексте через барицентры и объёмы; в римановых или сферических многообразиях нужно заменить объёмы и прямые на геодезики и объёмы ограниченных частей, и тогда формулы становятся сложнее (в частности, нет линейной структуры для барицентрических координат).Знаки/ориентации важны: без учёта ориентировок продуктовые равенства могут дать ложные утверждения (особенно в нечётномерных конфигурациях).Практические применения: определение точки пересечения трёх (или более) семейств отрезков/лучей, методы барицентров и mass points в задачах евклидовой геометрии, соотношения в триангуляции и в расчётах центров масс в механике; сферическая версия полезна в небесной механике, картографии и для задач на сфере (напр., в задачах о трёх меридианах/роза ветров).

Если нужно, могу дать развернутую запись многомерного условия в терминах объёмных отношений (формула с произведением отношений объёмов и ориентаций) или детализировать полноценное пошаговое доказательство сферической версии с картинками/алгеброй синусов — укажите, что предпочитаете.