Возьмём координаты: (A(0,0,0),\ B(2,0,0),\ C(2,2,0),\ D(0,2,0),\ D_1(0,2,2)). Тогда (M) — середина (DD_1): (M(0,2,1)).

Векторы прямых:
[
\vec{CM}=M-C=(-2,0,1),\qquad \vec{BD_1}=D_1-B=(-2,2,2).
]
Скалярное произведение и длины:
[
\vec{CM}\cdot\vec{BD_1}=6,\quad |\vec{CM}|=\sqrt{5},\quad |\vec{BD_1}|=2\sqrt{3}.
]
Косинус угла:
[
\cos\theta=\frac{6}{\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}}=\frac{3}{\sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}.
]
Значит
[
\theta=\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}\approx 39.23^\circ.
]