Коротко: все возможные геометрические типы пересечений окружности и параболы — 0, 1, 2, 3 или 4 различных точек; касание — это случай кратного корня (мультипlicity ≥2). Далее — критерии в терминах параметров и явные простые примеры.
Пусть парабола в стандартном вертикальном виде
$$y=a{x}^2+bx+c,a\ne 0,$$ а окружность задана центром $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$:
$$(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2=r^2.$$ Подстановка $y=a{x}^2+bx+c$ даёт уравнение четвертой степени по $x$ $$\Phi (x):=(x-x_0{)}^2+(a{x}^2+bx+c-y_0{)}^2-r^2=0.$$ Число действительных корней этого уравнения (с учётом кратности) равно числа пересечений (количество различных пересечений — количество различных действительных корней).
Общие критерии
- Отсутствие пересечений (0 точек) тогда и только тогда, когда минимум функции $\Phi (x)$ на $\mathbb{R}$ больше нуля:
$$\underset{x\in \mathbb{R}}{\min }\Phi (x)>0.$$ - Касание в точке $(x_{\ast },y_{\ast })$ соответствует существованию общего решения системы
$$\Phi (x_{\ast })=0,{\Phi }^{\prime }(x_{\ast })=0.$$ Аналогично, в терминах исходных уравнений касание эквивалентно тому, что в общей точке касательные совпадают: если $y^{\prime }=2ax+b$ — производная параболы, то для точки касания выполняется
$$2a{x}_{\ast }+b=-\frac{x_{\ast }-x_0}{y_{\ast }-y_0},$$ и одновременно точка лежит на обеих кривых.
- Точное количество (0,1,2,3,4) определяется натурально числом различных действительных корней $\Phi (x)$. Мультипlicity кратных корней дает случаи с касаниями (например, 3 различных точек может быть при одной касательной точке (кратность 2) и двух простых точках).
Типичные конфигурации и простые примеры (парaбoла $y=x^2$ для наглядности):
1) Ноль пересечений.
- Критерий: $\min \Phi >0$.
- Пример: парабола $y=x^2$, окружность Центр $(0,2)$, радиус $r=0.5$. Тогда
$$\Phi (x)=x^4-3x^2+3.75$$ и $\Phi (x)>0$ для всех $x$ (нет действительных корней).
2) Одна (единственная) точка — чистое касание без других пересечений.
- Критерий: существует $x_{\ast }$ с $\Phi (x_{\ast })=0$ и ${\Phi }^{\prime }(x_{\ast })=0$, остальные корни комплексны.
- Пример (касание в вершине): парабола $y=x^2$, окружность центр $(0,0.4)$, $r=0.4$. Окружность проходит через вершину $(0,0)$ и касается её, других пересечений нет.
3) Две точки (обычно две простые точки).
- Критерий: $\Phi (x)$ имеет ровно два простых действительных корня (и два комплексных).
- Пример: парабола $y=x^2$, окружность центр $(0,0)$, $r=1$. Подстановка даёт
$$x^4+x^2-1=0,$$ одно положительное значение $t=x^2$ даёт два простых значения $x=\pm \sqrt{t}$ — две точки пересечения симметрично.
4) Три различных точки (одно касание + два простых пересечения).
- Критерий: $\Phi$ имеет один корень кратности 2 и ещё два простых действительных корня (мультипlicity суммируется до 4).
- Пример: парабола $y=x^2$, окружность центр $(0,1)$, $r=1$. Подстановка даёт
$$(t-1{)}^2+t-1=0,t=x^2,$$ решения $t=0$ (двойной корень, точка $(0,0)$ — касание в вершине) и $t=1$ (даёт $x=\pm 1$) — ещё две точки. Итого три различных точки, одна из которых касательная.
5) Четыре простых пересечения (общий случай).
- Критерий: $\Phi (x)$ имеет четыре простых действительных корня.
- Пример (существует — общий/секущий случай): парабола $y=x^2$ и круг подходящего положения и размера, пересекающий параболу в четырёх точках (пример на практике можно получить сдвинув центр окружности вбок и выбрав достаточный радиус; например, для центра $(1,0.5)$ и некоторого $r\gtrsim 1$ возникают четыре пересечения). (Конструктивно: круг задаётся тремя точками на параболе; при подходящем выборе четвертой точки она будет на той же окружности — геометрически возможна конфигурация с 4 пересечениями.)
Замечания и практические указания
- Общая алгебраическая проверка числа пересечений — исследование четвертой степени $\Phi (x)$: знак минимума, вычисление дискриминант-подобных результатов или вычисление результатаантов ${\mathrm{Res}}_x(\Phi ,{\Phi }^{\prime })$ даёт условия кратных корней (касание).
- Геометрически удобный критерий для отсутствия/наличия касания: расстояние от центра окружности до параболы. Пусть $d_{\min }^2={\min }_x[(x-x_0{)}^2+(a{x}^2+bx+c-y_0{)}^2]$. Тогда
- если $d_{\min }>r$ — нет пересечений;
- если $d_{\min }=r$ — есть касание (хотя возможны и дополнительные пересечения в других точках);
- если $d_{\min }<r$ — есть хотя бы две пересечения (в общем случае 2 или 4, либо 3 с кратностью).
Если нужно, могу:
- показать вывод формулы $\Phi (x)$ для произвольных параметров и привести подробную процедуру проверки количества корней (через исследование экстремумов $\Phi$);
- подобрать и проверить конкретный численный пример с точно четырьмя пересечениями и подсчитать их координаты.