Группа движений плоскости — это группа всех изометрий плоскости (биективных отображений, сохраняющих расстояния). Докажем структурное описание и обсудим представимость аффинных отображений через движения и однородное растяжение.
1) Любая изометрия имеет вид $x\mapsto Ax+b$ с $A\in O(2),b\in {\mathbb{R}}^2$.
Пусть $f$ — изометрия. Положим $b=f(0)$ и определим $A(u)=f(u)-b$. Так как $f$ сохраняет расстояния, то для любых $u,v$ выполнено $|Au-Av|=|u-v|$. По формуле поляризации
$$⟨u,v⟩=\frac{1}{2}(|u+v{|}^2-|u{|}^2-|v{|}^2)$$ следует, что $⟨Au,Av⟩=⟨u,v⟩$ для всех $u,v$. Отсюда $A$ сохраняет скалярное произведение и, поскольку $A(0)=0$, является линейным ортогональным оператором, т.е. $A\in O(2)$. Обратно, любое отображение $x\mapsto Ax+b$ с $A\in O(2)$ сохраняет расстояния. Значит множество движений равно множеству всех $x\mapsto Ax+b$ с $A\in O(2),b\in {\mathbb{R}}^2$.
2) Ротации и отражения порождают $O(2)$.
В двумерном случае всякий $A\in O(2)$ либо имеет $\det A=1$ и тогда это поворот на некоторый угол $\theta$, либо $\det A=-1$ и тогда это отражение относительно некоторой прямой (или композиция поворота и отражения). Следовательно группа движений порождена параллельными переносами и элементами $O(2)$, а последние порождаются поворотами и отражениями. Иными словами, любые композиции поворотов, параллельных переносов и отражений дают всю группу движений плоскости.
3) Когда аффинное отображение представимо как композиция движения и однородного растяжения?
Пусть задано аффинное $f(x)=Mx+v$ с невырожденной $M$. Если $f$ есть композиция движения и однородного (изотропного) растяжения (коэффициент $k\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$), то линейная часть должна иметь вид
$$M=kA\text{для некоторого}A\in O(2).$$ Это необходимое условие, потому что однородное растяжение умножает все длины на один и тот же фактор $|k|$, а движение сохраняет длины. Эквивалентная алгебраическая формулировка:
$$M{M}^T=k^{2}I.$$ Обратное также верно: если найдётся $k$ и $A\in O(2)$ такие, что $M=kA$, то
$$f(x)=kAx+v$$ и это действительно композиция однородного растяжения (коэффициент $k$) и движения (оператор $A$ и сдвиг $v$). Особенно удобно использовать полярное разложение: любое невырожденное $M$ можно представить как $M=QS$ с ортогональным $Q$ и симметрическим положительно определённым $S$; требование, чтобы $M$ было скаляром умноженным на ортогональный оператор, эквивалентно $S=kI$, т.е. все сингулярные значения $M$ равны.
Дополнительно: если $k\ne 1$, то такое отображение имеет единственную неподвижную точку (центр гомотетии)
$$c=(I-kA{)}^{-1}v,$$ и тогда
$$f(x)=c+kA(x-c),$$ то есть однородное растяжение (с центром $c$ и коэффициентом $k$) затем композиция с поворотом/отражением. Если сингулярные значения $M$ различаются, то $M$ не является скаляром, умножающим ортогональную матрицу, и потому $f$ не может быть представлено как сочетание движения и однородного растяжения (анизотропное растяжение меняет длины в разных направлениях).
Коротко: группа движений = все отображения $x\mapsto Ax+b$ с $A\in O(2)$. Эта группа порождена поворотами, параллельными переносами и отражениями. Аффинное $x\mapsto Mx+v$ представимо как композиция движения и однородного растяжения тогда и только тогда, когда $M=kA$ с некоторым $k$ и $A\in O(2)$ (эквивалентно $M{M}^T=k^{2}I$).