Локус точек $X$ плоскости треугольника $ABC$, для которых $|XA-XB|=d$ (предполагаем $d\ge 0$) — это ветви гиперболы с фокусами в $A$ и $B$, либо вырожденные случаи. Конкретно:
- Если $d>|AB|$, то решений нет (по неравенству треугольника $|XA-XB|\le |AB|$).
- Если $d=|AB|$, то множество точек — две полупрямые на прямой $AB$, выходящие наружу от отрезка $AB$ (включая $A$ и $B$); это вырожденная гипербола.
- Если $0<d<|AB|$, то получается невырожденная гипербола с фокусами $A$ и $B$. Обозначим середину отрезка $AB$ через $M$ и положим $2a=d,2c=|AB|$ (т.е. $a=\frac{d}{2},c=\frac{|AB|}{2}$). Тогда
$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\frac{1}{2}\sqrt{|AB{|}^2-d^2},e=\frac{c}{a}=\frac{|AB|}{d}.$$ В системе координат с началом в $M$ и осью $x$ вдоль $AB$ фокусы в точках $(\pm c,0)$, а уравнение ветвей
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.$$ Вершины в $(\pm a,0)$, асимптоты $y=\pm \frac{b}{a}x$.
- Если $d=0$, то $|XA-XB|=0$ и локус — перпендикулярный биссектрис (перпендикулярный биссектор) отрезка $AB$ (прямая, проходящая через $M$).