Ниже — конкретные примеры оптимизационных задач для арок, куполов и пролетов мостов с указанием геометрических критериев и их аналитической записи.
1) Массивная арка (мрамор/кирпич): привести линию тяги внутрь сечения
- Переменные: профиль арки в плоскости $y(x)$ на пролёте $x\in [0,L]$.
- Критерий: линия тяги (thrust line) должна лежать внутри сечения → нет изгибающего момента. Для сечения с глубиной $d(x)$ и осевыми силами $N(x)$ и изгибающими моментами $M(x)$ вводят эксцентриситет $e(x)=M(x)/N(x)$ и требуют
$$|e(x)|\le \frac{d(x)}{6}.$$ - Условие равновесия для «безмоментной» арки (инвертированная висячая нить): при равномерно распределённой по горизонтали вертикальной нагрузке $q$ функция линий тяги является параболой:
$$y(x)=a{x}^2+bx+c.$$ При равномерной распределённой по дуге собственной массе — кривая висячей нити (катенарий):
$$y(x)=A\cosh \left(\frac{x-x_0}{A}\right)+C.$$ - Оптимизация (пример): подобрать параметры $a,b,c$ минимизируя объём/массу при ограничении на допустимые внутренние напряжения:
$$\underset{a,b,c}{\min }V={\int }_0^{L}t(x)ds,\text{при}\sigma (x)=\frac{N(x)}{A(x)}\pm \frac{M(x)}{W(x)}\le {\sigma }_{\text{allow}},$$ где $ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx$, $t(x)$ — толщина/площадь поперечного сечения.
2) Подвесной/растяжной мост (форма кабеля — катенарий)
- Переменные: профиль кабеля $y(x)$.
- Геометрический критерий: минимизация провеса при ограничении усилия в тросе или минимизация длины кабеля при заданном прогибе/клиренсе.
- Уравнение кабеля при однородной линейной нагрузке по горизонтали $w$:
$$y(x)=\frac{H}{w}\cosh (\frac{w}{H}(x-x_0))+C,$$ где $H$ — горизонтальная составляющая натяжения.
- Оптимизация (пример): минимизировать материал троса (длину)
$$\underset{H,x_0,C}{\min }L={\int }_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y^{\prime }(x{)}^2}dx$$ при ограничении на прогиб $y_{\max }\le y_{\text{allowed}}$ и на максимальное растяжение/напряжение:
$$T(x)=\sqrt{H^2+(w\cdot s(x){)}^2}\le T_{\text{max}}.$$
3) Купол как тонкая оболочка (сферический/геодезический)
- Переменные: поверхность $\mathbf{r}(u,v)$ (например, сферический колпак радиуса $R$ и высоты $h$).
- Геометрические критерии: минимизация площади при данном объёме, минимизация максимальных мембранных напряжений, обеспечение положительной гауссовой кривизны для устойчивости.
- Формулы для сферического колпака:
$$A=2\pi Rh,V=\pi h^2(R-\frac{h}{3}).$$ - Кривизны через фундаментальные формы: пусть первый фундаментальный набор $E,F,G$, второй — $L,M,N$. Тогда гауссова и средняя кривизны
$$K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2},H=\frac{EN+GL-2FM}{2(EG-F^2)}.$$ Для сферы $K=1/R^2$.
- Оптимизация (пример): минимизировать массу оболочки при заданном объёме и ограничении на мембранное напряжение ${\sigma }_{\text{mem}}$:
$$\underset{R,h,t(u,v)}{\min }M=\rho {\int }_{S}t(u,v)dS$$ при условиях
$$V=\text{const},{\sigma }_{\text{mem}}(u,v)\le {\sigma }_{\text{allow}},$$ где мембранные напряжения выражаются через геометрию оболочки и внешнюю нагрузку (например, равномерную снеговую нагрузку $q$) через уравнения мембраны (баланс сил по нормали и касательно), в простейшем случае для сферической оболочки:
$${\sigma }_{\theta }={\sigma }_{\varphi }=\frac{qR}{2t}.$$
4) Геодезический купол и дискретизация поверхности
- Переменные: координаты узлов $p_i$ и длины стержней $l_{ij}=\Vert p_i-p_j\Vert$.
- Критерий: аппроксимация сферы радиуса $R$ с минимальным расходом материала и равномерными элементами.
- Оптимизация (пример):
$$\underset{p_i}{\min }\sum _{(i,j)\in E}{l}_{ij}$$ при ограничениях аппроксимации
∀i ∣∥pi∥−R∣≤ε, \forall i\;\; \big|\|p_i\|-R\big|\le\varepsilon,
∀i ∥pi ∥−R ≤ε, и на максимальную длину элемента $l_{ij}\le l_{\max }$ (технологичность сборки).
5) Минимизация энергетического критерия (оптимальная форма балки/арки)
- Критерий «минимальное изгибное напряжение» или «минимальная искривлённая энергия»:
$$E_b={\int }_0^{L}EI(x){\kappa }^2(x)ds\to \min ,$$ где $\kappa (x)=\frac{y^{\prime \prime }}{(1+y^{\prime 2}{)}^{3/2}}$ — кривизна кривой $y(x)$.
- Такое вариационное условие при граничных условиях и заданной нагрузке даёт дифференциальное уравнение формы (Эйлер–Лагранжа) для оптимальной формы.
Дополнительные стандартные ограничения (везде применимы):
- Прочность: комбинированное напряжение
$${\sigma }_{\max }=\frac{N}{A}\pm \frac{M}{W}\le {\sigma }_{\text{allow}}.$$ - Устойчивость (антифлокинг/ртушение): критическая нагрузка при локальном/общем изгибе должна превышать расчётную: $P_{\text{cr}}(geometry,t,\dots )\ge \gamma P_{\text{design}}.$ - Конструктивность: длины элементов, радиусы кривизны, укладываемость панелей и т.п.
Короткий алгоритм применения в проекте:
1. Задать параметрическое семейство форм (парабола/катенарий/сферическая кепка/параметрическая поверхность).
2. Записать физические/геометрические критерии как аналитические функции (см. примеры выше).
3. Постановка оптимизации: минимум массы/материала или энергии при ограничениях прочности, кривизны, клиренса и технологичности.
4. Решение численно (вариационный подход, оптимизация по параметрам, конечные элементы для оболочек).
Если нужно, могу конкретизировать одну из задач (ввести явную постановку оптимизации на параметрическом семействе и выписать все уравнения равновесия и ограничения).