Определение ориентированной (алгебраической, signed) площади и ключевые свойства.
- Формулировка через кривую. Для замкнутой кусочно-гладкой ломаной (параметрически $\gamma (t)=(x(t),y(t)),t\in [0,1],\gamma (0)=\gamma (1)$) ориентированная площадь задаётся как криволинейный интеграл
$$A(\gamma )=\frac{1}{2}{\oint }_{\gamma }(xdy-ydx).$$ Этот интеграл даёт положительную величину для обхода против часовой стрелки, отрицательную для обхода по часовой стрелке; при самопересечениях части области суммируются с учётом знака.
- Формула для ломаной (shoelace). Для вершины $V_k=(x_k,y_k),k=1,\dots ,n$ (индексация по кругу, $V_{n+1}=V_1$) ориентированная площадь равна
$$A(\gamma )=\frac{1}{2}\sum _{k=1}^n(x_k{y}_{k+1}-x_{k+1}{y}_k).$$ Эта формула остаётся корректной при самопересечениях и даёт алгебраическую площадь.
- Формулировка через число обёртываний (winding number). Для точки $p\notin \gamma$ определим целое $w(\gamma ,p)$ — число обёртываний кривой вокруг $p$. Тогда
$$A(\gamma )={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}w(\gamma ,p)dp,$$ где $dp$ — элемент площади на плоскости. Это подчёркивает, что каждая точка плоскости вносит вклад в площадь с кратностью $w(\gamma ,p)$; точки с $w=0$ не вносят вклад.
Инварианты при гомотопии без разрывов.
- Инвариантность числа обёртываний по компонентам. Для любой фиксированной точки $p$ число $w(\gamma ,p)\in \mathbb{Z}$ остаётся неизменным при гомотопии кривой, которая не проходит через $p$ (т.е. при гомотопии в ${\mathbb{R}}^2\setminus \{p\}$). Следствие: на каждой связной компоненте дополнения ${\mathbb{R}}^2\setminus \gamma$ число обёртываний постоянно и не меняется, пока гомотопия не «пересечёт» эту компоненту.
- Что может и что не может меняться. Ориентированная (алгебраическая) площадь $A(\gamma )=\iint w(\gamma ,p)dp$ меняется только тогда, когда в процессе гомотопии части кривой проходят через те точки плоскости, для которых ранее было $w=0$ (или наоборот) — т.е. когда значения $w(\gamma ,p)$ на некотором множестве точек изменяются. Если гомотопия сохраняет на каждой компоненте дополнения прежнее значение $w$, то $A(\gamma )$ остаётся неизменной. В частности, гомотопии, не меняющие класс в ${\pi }_1({\mathbb{R}}^2\setminus \{p\})$ для всех $p$ внутри рассматриваемых компонент, сохраняют локальные вклады и сумму.
Как это используется при вычислении площади.
- Вычисление «алгебраической» площади: применяют интеграл или формулу гаусса/shoelace напрямую — не надо разрезать ломаную на простые куски: shoelace даёт ответ сразу, считая области с учётом знака.
- Вычисление геометрической (вне пересечений) площади множества точек, которые лежат «внутри» кривой в обычном смысле: берут множество точек с $w(\gamma ,p)\ne 0$ и вычисляют
$${\text{Area}}_{\text{geom}}=\iint 1_{\{w(\gamma ,p)\ne 0\}}dp.$$ Практически это делается разбиением плоскости по компонентам дополнения, определением ненулевых $w$ на каждой компоненте и суммированием абсолютных площадей этих компонент.
- Разложение по простым петлям: в задачах часто разрезают ломаную в точках пересечения на простые замкнутые петли; каждой петле ставят знак (ориентацию) и суммируют её ориентированные площади — это эквивалентно использованию $w(\gamma ,\cdot )$.
Короткие рекомендации при решении задач:
- Для конкретной ломаной сначала примените shoelace; если нужно «геометрическое» внутрение множество, найдите компоненты дополнения и их $w$, затем суммируйте площади компонент с $w\ne 0$.
- При деформациях следите за точками, через которые кривая проходит: только тогда меняются локальные $w$ и, соответственно, ориентированная площадь.