Пусть основание $BC$ задано длиной $a$, медиана к нему — от вершины $A$ до середины $M$ и равна $m$, угол при вершине $B$ равен $\alpha$. Тогда задача равносильна поиску точки $A$, лежащей на луче из $B$ под углом $\alpha$ к $BC$ и на окружности с центром в $M$ радиуса $m$.
Построение (линейкой и циркулем)
1. Постройте отрезок $BC=a$.
2. Найдите середину $M$ отрезка $BC$ (пересечение серединных дуг или перпендикулярного биссектора).
3. Постройте окружность с центром $M$ и радиусом $m$.
4. Через точку $B$ постройте луч, составляющий с направлением $BC$ угол $\alpha$ (в нужную сторону).
5. Точки пересечения луча $B$ с окружностью $(M,m)$ дают возможные положения $A$. Соедините выбранную точку $A$ с $C$. Получили треугольник $ABC$.
Аналитическое обоснование (коротко)
Пусть координаты: $B=(0,0)$, $BC$ по оси $x$, тогда $C=(a,0)$, $M=(\frac{a}{2},0)$. Точка на луче из $B$ под углом $\alpha$ имеет вид $A(t)=(t\cos \alpha ,t\sin \alpha )$, $t\ge 0$. Условие $AM=m$ даёт уравнение
$$(t\cos \alpha -\frac{a}{2}{)}^2+(t\sin \alpha {)}^2=m^2,$$ которое эквивалентно квадратному уравнению по $t$ $$t^2-a\cos \alpha t+(\frac{a^2}{4}-m^2)=0.$$ Дискриминант
$$\Delta =a^2{\cos }^2\alpha -4(\frac{a^2}{4}-m^2)=4(m^2-\frac{a^2{\sin }^2\alpha }{4}).$$ Корни
$$t=\frac{a\cos \alpha \pm \sqrt{\Delta }}{2}.$$
Условие существования и число решений
- Необходимое условие существования действительных корней: $\Delta \ge 0$, т.е.
$$m^2\ge \frac{a^2{\sin }^2\alpha }{4}\text{(или}m\ge \frac{a}{2}|\sin \alpha |).$$ Если это не выполняется — решений нет (луч не пересекает окружность).
- При $\Delta >0$ и $\frac{a^2}{4}-m^2<0$ (т.е. $m>\frac{a}{2}$) один корень положителен, другой отрицателен $\Rightarrow$ ровно одна точка $A$ на луче $\Rightarrow$ единственный невырожденный треугольник.
- При $\Delta >0$ и $\frac{a^2}{4}-m^2>0$ (т.е. $m<\frac{a}{2}$) корни одного знака; если сумма корней $a\cos \alpha >0$ (то есть $\cos \alpha >0$) — оба корня положительны $\Rightarrow$ два различных решения (две точки пересечения луча и окружности) $\Rightarrow$ два различных треугольника; если $a\cos \alpha \le 0$ — оба корня неположительны $\Rightarrow$ решений нет (или вырожденный случай).
- При $\Delta =0$ — касание: один корень (кратный). Если этот корень $t>0$ — единственный (касательный) треугольник; если $t=0$ — точка $A$ совпадает с $B$ (вырождение).
Граничные и вырожденные случаи (перечень)
- $m^2<\frac{a^2{\sin }^2\alpha }{4}$ — нет решений.
- $m^2=\frac{a^2{\sin }^2\alpha }{4}$ ($\Delta =0$) — касание: ровно одно решение, если полученный $t>0$; если $t=0$ — вырождено ($A=B$).
- $m>\frac{a}{2}$ — всегда ровно одно (невырожденное) решение при $\Delta \ge 0$.
- $m=\frac{a}{2}$ — один корень равен $0$ (точка $A=B$); ненулевой второй корень равен $a\cos \alpha$. Невырожденное решение существует лишь если $a\cos \alpha >0$.
- $m<\frac{a}{2}$ и $\Delta >0$: если $\cos \alpha >0$ — два разных треугольника; если $\cos \alpha \le 0$ — нет невырожденного решения.
- Угол $\alpha =0$ или $\alpha =\pi$ — тривиальные/вырожденные случаи (нельзя иметь невырожденный треугольник с таким углом у базовой вершины).
Вывод: конструкция выполняется простым пересечением луча из $B$ (угол $\alpha$) с окружностью радиуса $m$ центром в середине основания; число решений определяется знаком дискриминанта и знаками корней по приведённым условиям.