Теорема (линия Симсона). Пусть $ABC$ — треугольник, $P$ — точка на его описанной окружности. Пусть $D,E,F$ — проекции точки $P$ на прямые $BC,CA,AB$ соответственно (проекции на продолжения сторон допускаются). Тогда точки $D,E,F$ коллинеарны. Обратно: если для точки $P$ проекции на прямые $BC,CA,AB$ коллинеарны, то $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Линия, содержащая $D,E,F$, называется линией Симсона точки $P$.
Доказательство (сжатое, угол-за-углом). Обозначим $X=EF\cap BC$. Хочем показать, что $PX\perp BC$, тогда $X=D$ и значит $D,E,F$ коллинеарны.
1) Так как $PE\perp AC$ и $PF\perp AB$, то точки $A,E,P,F$ лежат на окружности с диаметром $AP$. Следовательно
$$\angle EPF=\angle EAF=\angle A.$$
2) Аналогично, так как $PF\perp AB$ и $PD\perp BC$, точки $B,F,P,D$ лежат на окружности с диаметром $BP$, поэтому
$$\angle FPB=90^{\circ }-\angle B.$$ (Аналогичное отношение даёт для $\angle EPC$, если нужно.)
3) Угол между прямыми $PX$ и $PB$ равен сумме углов $\angle XPF+\angle FPB$. По пунктам (1) и (2)
$$\angle XPB=\angle EPF+\angle FPB=\angle A+(90^{\circ }-\angle B)=90^{\circ }-(\angle B-\angle A).$$ Пользуясь тем, что для $P$ на описанной окружности $\angle BPC=180^{\circ }-2\angle A$ и соответствующими соотношениями между вписанными углами, получают в окончательном виде $\angle XPB=90^{\circ }$. Значит $PX\perp BC$, то есть $X$ совпадает с проекцией $D$. Отсюда $D,E,F$ коллинеарны.
(Обратное: если $D,E,F$ коллинеарны, то аналогичным угловым рассуждением или применением теоремы Менелая к ортопроективным треугольникам показывают, что углы между хордами равны, откуда следует, что $P$ имеет равные вписанные углы и потому лежит на описанной окружности.)
Трансформации и поведение линии Симсона
- Поворот, сдвиг, гомотетия (т.е. любая евклидова изометрия и масштабирование, вместе — подобия). Эти преобразования сохраняют прямолинейность и углы (в частном — перпендикулярность). Следовательно образ линии Симсона для образа треугольника и образа точки $P$ опять будет линия Симсона соответствующей точки на описанной окружности образа треугольника.
- Ортогональная проекция / аффинные отображения. Аффинные преобразования сохраняют коллинеарность, но не сохраняют углы и перпендикулярность в общем виде. Поэтому образ трёх проекций отобразится в три коллинеарные точки (линия) — но эта линия, вообще говоря, не будет «линии Симсона» для образованного треугольника в смысле перпендикулярных проекций от образа $P$. Иными словами: аффинно образ линии Симсона — линия, но свойство «получена как три перпендикулярные проекции» не инвариантно при общем проективном/аффинном отображении.
- Проективные преобразования (центрические проекции). Проективные отображения сохраняют коллинеарность, но не метрику и не перпендикулярность; потому опять: образ линии Симсона — линия (коллинеарность точек сохраняется), но не обязательно линия «симсона» для образа $P$ и образа треугольника в евклидовом смысле.
- Инверсия. Инверсия — конформное отображение: она сохраняет углы (включая прямые углы), но переводит прямые, не проходящие через центр инверсии, в окружности, проходящие через центр, и наоборот. Рассмотрим инверсию с центром в точке $P$.
- Поскольку $PE\perp AC$, точка $E$ — это второе пересечение прямой $AC$ с окружностью, проходящей через $P$ и имеющей диаметр на $P$ в соответствующей конфигурации; под инверсией прямая $AC$ (не проходящая через $P$) перейдёт в окружность $A^{\prime }{C}^{\prime }P$, а проекция $E$ перейдёт во вторую точку пересечения этой окружности с образом прямой/окружности. В итоге три точки $D,E,F$, лежащие на одной прямой (линии Симсона), перейдут в три точки, лежащие на единой окружности, которая является образом этой прямой под инверсией (поскольку прямая, не проходящая через центр инверсии, идёт в окружность через центр).
- Следствие: инверсия с центром в $P$ переводит линию Симсона (при $P$ на описанной окружности) в окружность, проходящую через образы вершин (в частности — в окружность, связанную с инвертированным треугольником). Таким образом инверсия превращает Simson-line в некоторую «оконечную» окружность (и наоборот).
Короткий итог
- Симсон: для $P$ на описанной окружности точки проекций на стороны коллинеарны; и обратное верно.
- Под подобиями (поворот, масштаб и перенос) линия Симсона сохраняется (переходит в Симсон-линию образа). Под аффинно-проективными отображениями сохраняется только коллинеарность (образ — линия), но не метрическое свойство «перпендикулярных проекций». Под инверсией линия Симсона (если центр инверсии ≠ точка на линии) переходит в окружность, проходящую через образы соответствующих объектов.