Кратко — по трём методам докажу и сравню; затем сформулирую стереометрическую задачу и дам план решения.
1) Утверждение (для треугольника ABC): образ медианы AM (M — середина BC) при аффинном преобразовании T остаётся медианой (то есть T(M) — середина T(B)T(C)).
Векторный (быстрое «алгебраическое» доказательство).
- Запишем середину векторно: $M=\frac{B+C}{2}$.
- Аффинное преобразование имеет вид $x\mapsto Ax+b$ (линейная часть $A$ и сдвиг $b$). Тогда
$$T(M)=AM+b=A\frac{B+C}{2}+b=\frac{AB+b+AC+b}{2}=\frac{T(B)+T(C)}{2}.$$ - Значит $T(M)$ — середина отрезка $T(B)T(C)$.
Матрично‑координатный (координатная проверка).
- Вводим координаты точек $B=(x_B,y_B),C=(x_C,y_C)$. Середина: $M=(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2})$.
- Аффинная матрица и вектор сдвига: $T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{t}$. Применяя компонентно получаем те же равенства для координат середины:
$$T(M)=\frac{T(B)+T(C)}{2}.$$ - Это та же алгебра, оформленная в координатах; удобно, когда требуется явная численная проверка или работа с общими матрицами, обобщается на n‑мерные аффинные пространства.
Синтетический (через параллелограммы / отношение отрезков).
- Середина отрезка — это пересечение диагоналей параллелограмма с этим отрезком как стороной; аффинные отображения сохраняют параллелограммы и пересечения диагоналей. Также аффинные преобразования сохраняют отношения на одной прямой (в частности, отношение 1:1 при делении пополам). Поэтому образ середины — середина.
- Это доказательство более «геометрическое», опирается на инвариантность параллельности и отношения отрезков на прямой.
Сравнение и выводы о применимости в задачах планиметрии высокого уровня
- Векторный подход: короток, формален, хорошо показывает причину (барицентрические/аффинные коэффициенты сохраняются). Лучший выбор при доказательствах свойств, выражающихся линейными отношениями точек (барицентры, середины, деления в заданном отношении), и при обобщениях на n‑мерные случаи.
- Матрицы/координаты: удобен при явных вычислениях, когда надо получить числовые формулы, исследовать частные случаи или программировать. Минус — громоздкость и потеря геометрической наглядности.
- Синтетический метод: даёт наглядное понимание и простые короткие доказательства в задачах «чисто» геометрического характера (конструкции, свойства параллельности, симметрии). Часто более элегантен в олимпиадных решениях. Но для сложных алгебраических зависимостей или в стереометрии синтетику бывает трудно использовать без перехода к координатам.
- Правило выбора: для утверждений, основанных на аффинных инвариантах (середины, параллелизм, деление отрезка в заданном отношении, гомотетии) синтетика или векторный подход — предпочтительны; для явных вычислений или при необходимости обобщить на высшие размерности — координаты/матрицы.
2) Стереометрический кейс — формулировка задачи и план решения.
Формулировка (четкая версия).
- Дана прямая призма с базой треугольник $ABC$ в плоскости $z=0$ и высотой $H$ (вершины верхнего основания соответствуют $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ с теми же проекциями и координатой $z=H$). В основании лежит точка $P$. Через $P$ проведены три плоскости ${\Pi }_A,{\Pi }_B,{\Pi }_C$ так, что каждая ${\Pi }_X$ проходит через точку $P$ и через соответствующее боковое ребро $X{X}^{\prime }$ и секущая точка на $X{X}^{\prime }$ образует с плоскостью основания угол ${\alpha }_X$ ($X\in \{A,B,C\}$). Предполагается, что пересечения лежат внутри ребер (то есть получаемые высоты $\le H$). Найти объём части призмы, лежащей между основанием $ABC$ и тремя плоскостями (т. е. множестве точек призмы с $0\le z\le z_{\text{top}}(x,y)$, где верх задаётся плоскостью через три точki пересечения с боковыми рёбрами).
План решения (сечениями, подобием и координатами).
1. Координатная настройка:
- Введём систему с $z$-осью вдоль боковых рёбер: пусть $A=(x_A,y_A,0)$, $B=(x_B,y_B,0)$, $C=(x_C,y_C,0)$, и соответствующие верхние вершины $A^{\prime }=(x_A,y_A,H)$ и т.д. Точка $P=(x_P,y_P,0)$.
2. Нахождение высот пересечения на боковых рёбрах:
- Рассмотрим, например, плоскость ${\Pi }_A$, которая содержит ребро $A{A}^{\prime }$ и точку $P$. В вертикальной секущей плоскости, содержащей $A{A}^{\prime }$ и $P$, расстояние по горизонтали от $P$ до проекции точки $A$ равно $|PA|$ (в плоскости основания). Если точка пересечения ${\Pi }_A\cap A{A}^{\prime }$ имеет координату $z_A$, то угол между отрезком от $P$ к этой точке и плоскостью основания равен ${\alpha }_A$, поэтому
$$z_A=|PA|\tan {\alpha }_A.$$ Аналогично
$$z_B=|PB|\tan {\alpha }_B,z_C=|PC|\tan {\alpha }_C.$$ - Требование, чтобы пересечение было внутри ребра: $0\le z_X\le H$.
3. Верхняя грань искомой части призмы:
- Точки пересечения с ребрами — три точки $(x_A,y_A,z_A),(x_B,y_B,z_B),(x_C,y_C,z_C)$. Они определяют плоскость $z=z_{\text{top}}(x,y)$, линейную функцию по $x,y$.
4. Объём как интеграл/используя подобие:
- Для плоскости (линейной функции) над треугольником верно, что среднее значение $z$ по области равно среднему значению значений в вершинах (барицентрная формула). Поэтому объём равен площади основания, умноженной на среднюю высоту:
$$V=S_{ABC}\cdot \frac{z_A+z_B+z_C}{3}.$$ - Подставляем выражения для $z_X$:
$$V=S_{ABC}\cdot \frac{|PA|\tan {\alpha }_A+|PB|\tan {\alpha }_B+|PC|\tan {\alpha }_C}{3},$$ при условии $z_X\le H$ для всех $X$. Если для какого‑то $X$ получено $z_X>H$, то соответствующая точка отсекается верхней гранью призмы и надо учитывать случай с отсечением (в этом случае один или несколько $z_X$ заменяются на $H$ и формула корректируется — геометрически это означает, что верхняя граница части призмы частично совпадает с верхним основанием).
5. Проверки и частные случаи:
- Вычислить $S_{ABC}$ через координаты (площадь по векторному/параллелограммовому правилу).
- При необходимости распилить изначальную область на простые призматические «ячейки» и суммировать объёмы (если верхняя поверхность кусочно‑плоская при обрезании вершинами выше $H$).
Краткие замечания о методах в этой задаче:
- Сечения и подобие (вертикальные плоскости через ребра и точку $P$) дают простой геометрический вывод формулы $z_X=|PX|\tan {\alpha }_X$.
- Координаты удобны для вычисления расстояний $|PX|$ и площади $S_{ABC}$, для учёта обрезания верхним основанием и для программной реализации.
- Синтетика полезна на этапе выявления линейности верхней поверхности (плоскость через три полученные точки) и применения средних (барицентрических) соотношений для объёма.
Итого: для утверждения о медиане все три метода корректны; выбор зависит от цели: векторный — краткий и универсальный, матрично‑координатный — для явных вычислений/обобщений, синтетический — для наглядных олимпиадных решений. Для стереометрической задачи практична комбинация сечений (разрежение в 2D), подобия и координат — что и предложено в плане, с итоговой формулой
$$V=S_{ABC}\cdot \frac{|PA|\tan {\alpha }_A+|PB|\tan {\alpha }_B+|PC|\tan {\alpha }_C}{3},$$ при условии $|PX|\tan {\alpha }_X\le H$ для всех $X$.