Краткая постановка. Обозначим через $d_a,d_b,d_c$ расстояния точки $P$ от прямых $BC,CA,AB$ соответственно (неотрицательные). Требуемое геометрическое место задаётся уравнением
$$d_a{d}_b{d}_c=k,k>0.$$
1) Алгебраическое описание. Пусть длины сторон $a=BC,b=CA,c=AB$ и площадь треугольника $\Delta$. Для точек внутри треугольника площади треугольников $PBC,PCA,PAB$ дают линейное соотношение
$$a{d}_a+b{d}_b+c{d}_c=2\Delta .$$ Внутри треугольника задача эквивалентна системе
$$\{\begin{array}{l}{d}_a{d}_b{d}_c=k,\\ a{d}_a+b{d}_b+c{d}_c=2\Delta ,\\ d_a,d_b,d_c>0.\end{array}$$ Если рассматривать знаковые расстояния (линейные функции) $L_a(P),L_b(P),L_c(P)$ (они равны ± соответствующим $d$), то уравнение в координатах плоскости имеет вид кубического алгебраического уравнения
$$L_a(P)L_b(P)L_c(P)=\pm k,$$ а для неотрицательных расстояний — $|L_a{L}_b{L}_c|=k$. Следовательно, геометрическое место — кусочно-реальная кубика: алгебраическая кривая третьего порядка, у которой однородная часть старшей степени равна $L_a{L}_b{L}_c$ — то есть три прямые $AB,BC,CA$ входят в бесконечном пределе (они являются асимптотами).
2) Максимум произведения внутри треугольника. Функция $f(d_a,d_b,d_c)=d_a{d}_b{d}_c$ на компактном симплексе $\{d_a,d_b,d_c\ge 0,a{d}_a+b{d}_b+c{d}_c=2\Delta \}$ достигает единственного максимума, находящегося в общем положении (по методу множителей Лагранжа или по AM–GM):
$$d_a=\frac{2\Delta }{3a},d_b=\frac{2\Delta }{3b},d_c=\frac{2\Delta }{3c},$$ и соответствующее максимальное значение
$$k_{\max }={\left(\frac{2\Delta }{3}\right)}^3\frac{1}{abc}.$$
3) Структура множества в зависимости от $k$.
- $k=0$. Множество совпадает с объединением трёх прямых (прямых сторон) $AB\cup BC\cup CA$.
- $0<k<k_{\max }$. В плоскости реальная кривая степени 3 имеет одну замкнутую невырожденную компоненту, лежащую внутри треугольника (уровень $d_a{d}_b{d}_c=k$ вокруг точки максимума), и три неограниченные ветви вне треугольника. Эти внешние ветви ближе к соответствующим углам/сторонам и имеют в бесконечности асимптоты, совпадающие с прямыми сторон треугольника.
- $k=k_{\max }$. Внутренняя замкнутая компонента сводится к единственной точке (единственна точка, где достигается максимум); внешние три ветви остаются. Топологически это критический случай (уровень проходит через стационарную точку).
- $k>k_{\max }$. Внутри треугольника нет решений; остаются только три неограниченные внешние ветви (кубическая кривая без замкнутой внутренней компоненты).
Поведение при малых и больших $k$:
- При $k\to 0^{+}$ внутренняя замкнутая кривая приближается к границе треугольника и в пределе сводится к $AB\cup BC\cup CA$.
- При больших $k$ (особенно $k>k_{\max }$) решения находятся только вне треугольника; по мере роста $k$ внешние ветви уходят дальше от треугольника (расстояния растут ~линейно), так что продукт может принимать любые большие значения.
4) Методы доказательства и анализа (кратко).
- Триллинейные/барицентрические координаты: расстояния до сторон естественно являются триллинейными координатами; внутренняя часть задачи сводится к системе $xyz=k,ax+by+cz=2\Delta$. Это превращает задачу в анализ уровня функции $xyz$ на симплексе.
- Лагранжевы множители / AM–GM: для нахождения экстремума продукта под линейным ограничением (даёт $k_{\max }$ и точку максимума).
- Логарифмическая трансформация: положив $u=\ln d_a,v=\ln d_b,w=\ln d_c$, уравнение продукта становится $u+v+w=\ln k$; это удобно для анализа выпуклости и критических точек (исследование единственности максимума).
- Алгебраический подход через знаковые линейные функции $L_a,L_b,L_c$: даёт глобальное уравнение кубики в координатах плоскости и позволяет анализировать асимптоты и число вещественных компонент (анализ старшей однородной части $L_a{L}_b{L}_c$).
- Симметрии: при перестановках сторон треугольника уравнение сохраняет циклическую симметрию; в частном случае равностороннего треугольника кривая имеет всю D3-симметрию, что облегчает анализ.
Заключение (одно предложение). Таким образом, геометрическое место точек с заданным произведением расстояний до сторон треугольника — это реальная кубическая кривая с асимптотами, совпадающими со сторонами треугольника; внутри треугольника существует замкнутая компонентa лишь при $0<k\le k_{\max }$ (при $k=k_{\max }$ она редуцируется до одной точки), при $k>k_{\max }$ остаются только внешние ветви.