Ниже — компактный сравнительный анализ теорем Чевы и Менелая: для каждой — три формализма (синтетическая, векторная, барицентрическая/гомогенная), показан переход между формализмами на конкретном числовом примере и краткое обсуждение того, что даёт каждый подход.
1) Теорема Чевы (три формализма)
- Синтетическая формулировка:
Для треугольника $ABC$ и точек $D\in BC,E\in CA,F\in AB$ прямые $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1,$$ с учётом ориентированных отрезков.
- Векторная / аффинная формулировка:
Положим
$$D=B+t(C-B),E=C+u(A-C),F=A+v(B-A),$$ где параметры $t,u,v\in \mathbb{R}$. Тогда
$$\frac{BD}{DC}=\frac{1-t}{t},\frac{CE}{EA}=\frac{1-u}{u},\frac{AF}{FB}=\frac{1-v}{v},$$ и условие сопряжённости (конкуренции) эквивалентно
$$\frac{1-t}{t}\cdot \frac{1-u}{u}\cdot \frac{1-v}{v}=1.$$ Краткая идея вывода: записать точку пересечения $P$ как $P=A+s(D-A)$ и как $P=B+\tilde{s}(E-B)$, приравнять и исключить параметры — получается указанное соотношение.
- Барицентрическая / гомогенная формулировка:
Пусть
$$D=(0:d_B:d_C),E=(e_A:0:e_C),F=(f_A:f_B:0)$$ — гомогенные (барицентрические) координаты относительно $A,B,C$. Тогда сопутствующее равенство детерминанта (условие коллинеарности в гомогенных координатах) даёт эквивалентное условие
$$d_B{e}_C{f}_A=d_C{e}_A{f}_B.$$ Через отношения отрезков это даёт ту же Чеву, поскольку, например, для $D=(0:d_B:d_C)$ имеем $\frac{BD}{DC}=\frac{d_C}{d_B}$.
Пример (Чева). Возьмём треугольник
$$A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1).$$ Пусть $\frac{BD}{DC}=2,\frac{CE}{EA}=\frac{1}{2},\frac{AF}{FB}=1$. Тогда произведение равно $2\cdot \frac{1}{2}\cdot 1=1$.
Выражения в координатах:
$$D=B+\frac{2}{3}(C-B)=(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),E=C+\frac{1}{3}(A-C)=(0,\frac{2}{3}),F=(\frac{1}{2},0).$$ Векторно решается пересечение $AD$ и $BE$, получаем общую точку $P=(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$; проверяется, что $P\in CF$. Барицентрически: $D=(0:1:2),E=(1:0:2),F=(1:1:0)$ и
$$d_B{e}_C{f}_A=1\cdot 2\cdot 1=2,d_C{e}_A{f}_B=2\cdot 1\cdot 1=2.$$
2) Теорема Менелая (три формализма)
- Синтетическая формулировка:
Для треугольника $ABC$ и точки $X$ на прямой, пересекающей прямые $BC,CA,AB$ соответственно в точках $X,Y,Z$ (возможно на продолжениях) точки $X,Y,Z$ коллинеарны тогда и только тогда, когда
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=-1,$$ где используются ориентированные отрезки.
- Векторная / аффинная формулировка:
Пусть
$$X=B+t(C-B),Y=C+u(A-C),Z=A+v(B-A),$$ и пусть соответствующие отношения отрезков связаны с параметрами через
$$\frac{BX}{XC}=\frac{t}{1-t},\frac{CY}{YA}=\frac{u}{1-u},\frac{AZ}{ZB}=\frac{v}{1-v}.$$ Тогда коллинеарность $X,Y,Z$ эквивалентна
$$\frac{t}{1-t}\cdot \frac{u}{1-u}\cdot \frac{v}{1-v}=-1,$$ что превращается в синтетическую форму подстановкой $t=\frac{BX}{BX+XC}$ и т.д. Вывод: равенство получается из условия линейной зависимости трёх гомогенных векторов.
- Барицентрическая / гомогенная формулировка:
Для точек
$$X=(0:x_B:x_C),Y=(y_A:0:y_C),Z=(z_A:z_B:0)$$ коллинеарность эквивалентна нулевому детерминанту
∣0xBxCyA0yCzAzB0∣=0, \begin{vmatrix}
0 & x_B & x_C\\[4pt]
y_A & 0 & y_C\\[4pt]
z_A & z_B & 0
\end{vmatrix}=0,
0yA zA xB 0zB xC yC 0 =0, что развёртывается в
$$x_B{y}_C{z}_A+x_C{y}_A{z}_B=0,$$ и после деления на подходящие компоненты даёт условие Менелая в виде произведения с знаком минус.
Пример (Менелай). Тот же треугольник $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$. Возьмём
$$\frac{BX}{XC}=2\Rightarrow X=(\frac{1}{3},\frac{2}{3}),\frac{CY}{YA}=3\Rightarrow Y=(0,\frac{1}{4}),$$ и потребуем $\frac{AZ}{ZB}=-\frac{1}{6}$ (знак «-» означает внешнее деление), тогда
$$Z=A+v(B-A),v=\frac{AZ}{AB}=\frac{-1/6}{1-1/6}=-\frac{1}{5},Z=(-0.2,0).$$ Проверяем синтетически:
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=2\cdot 3\cdot (-\frac{1}{6})=-1,$$ и геометрически точки $X,Y,Z$ коллинеарны (проверяется по углам/угловым коэффициентам). Барицентрически:
$$X=(0:1:2),Y=(3:0:1),Z=(6:-1:0),$$ и детерминант даёт $1\cdot 1\cdot 6+2\cdot 3\cdot (-1)=0$.
3) Переходы между формализмами (схема и замечания)
- Синтетическая → векторная: вводите аффинную систему координат, параметризуете точки на сторонах как $P=(1-t)P_1+t{P}_2$, выразите отношения отрезков через параметры и алгебраически получите аналитическую форму теоремы.
- Векторная → барицентрическая: гомогенные barycentric-координаты связаны с аффинными как невырожденные тройки коэффициентов в представлении $P=\frac{\alpha A+\beta B+\gamma C}{\alpha +\beta +\gamma }$; для точек на сторонах один коэффицент равен нулю, и отношения отрезков выражаются через отношения соответствующих коэффициентов.
- Барицентрическая → синтетическая: деление гомогенных уравнений на подходящие произведения координат даёт чисто относительные равенства отношением отрезков (Чева/Менелай). Детерминантные условия в barycentric легко превращаются в продуктные соотношения.
4) Что даёт каждый подход (кратко)
- Синтетический подход: наиболее наглядный, даёт качественную геометрическую интерпретацию (ориентация, внешнее разделение), полезен для чистых доказательств и обобщений в планиметрии.
- Векторно/аффинный подход: удобен для численных проверок и вычислений, простые параметрические выкладки; ограничение — требует выбора аффинной системы (неявно не работает с точками на бесконечности без дополнения).
- Барицентрические / гомогенные координаты: дают линейную (матрицы/детерминанты) формулировку условий коллинеарности/конкуренции, естественно работают в проективной среде (точки на бесконечности допустимы), удобны для символических вычислений и обобщений (включая площади, центры тяжести, обобщённые соотношения). Минус — необходимость работы с гомогенными масштабами и иногда менее интуитивная интерпретация.
Заключение: синтетика — для понимания и классических рассуждений; векторный/аффинный стиль — для явных вычислений; барицентрики/гомогенные координаты — для проектных обобщений, компактных алгебраических критериев (детерминанты), и работы с бесконечно удалёнными точками.