Пусть $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ (предполагаем $A\ne B$). Центр $C(x,y)$ окружности, проходящей через $A$ и $B$, удовлетворяет равенству расстояний до этих точек:
$$(x-x_1{)}^2+(y-y_1{)}^2=(x-x_2{)}^2+(y-y_2{)}^2.$$ Приведя подобные, получаем уравнение прямой:
$$2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=x_2^2+y_2^2-x_1^2-y_1^2,$$ которая есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Это и есть геометрическое место центров всех таких окружностей.
Пересечение с прямой $AB$: серединный перпендикуляр пересекает $AB$ в середине отрезка
$$M(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}).$$
Параметрическое поведение при заданном радиусе $r$. Обозначим $d=|AB|=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$ и вектор
$n=\frac{1}{d}(-(y_2-y_1),x_2-x_1)$ — единичный вектор, перпендикулярный $AB$. Общая точка серединного перпендикуляра имеет вид
$$C(t)=M+tn,t\in \mathbb{R}.$$ Если окружность имеет радиус $r$, то из прямоугольного треугольника с катетами $d/2$ и $|t|$ следует
$$r^2=(d/2{)}^2+t^2⟹t=\pm \sqrt{r^2-(d/2{)}^2}.$$ Условие существования реальных центров: $r\ge d/2$. Для $r=d/2$ центр совпадает с $M$; при увеличении $r$ значения $|t|$ растут и центры расходятся по серединному перпендикуляру, при $r\to \infty$ центры удаляются на бесконечность вдоль этой прямой.