Ключевая простая алгебраическая подсказка
- Разности сумм дают разности отдельных расстояний:
$$(PA+PB)-(PB+PC)=PA-PC,(PB+PC)-(PC+PA)=PB-PA,\text{и т.д.}$$ Следовательно порядок трёх чисел $PA+PB,PB+PC,PC+PA$ полностью эквивалентен порядку расстояний $PA,PB,PC$. Условие «суммы попарно не равны» эквивалентно тому, что $PA,PB,PC$ попарно различны.
Натуральные геометрические построения для оценки положения P
1. Сравнение двух расстояний $PX$ и $PY$ (где $X,Y\in \{A,B,C\}$):
- Провести перпендикулярный биссектрису отрезка $XY$. Если $P$ лежит на стороне биссектрисы ближе к $X$, то $PX<PY$; иначе $PX>PY$.
- Итого: сравнения сумм сводятся к проверкам положения относительно трёх перпендикулярных биссектрис отрезков $AB,BC,CA$.
2. Визуализация через эллипсы:
- Локус точек с $PA+PB=\text{const}$ — эллипс с фокусами $A,B$. Проведя через $P$ эллипсы для пар $(A,B),(B,C),(C,A)$, можно сравнить «большие полуоси» и оценить относительные значения сумм/расстояний.
3. Проверка положения относительно биссектрис углов:
- Биссектриса угла $A$ — это локации точек, равноудалённых от прямых $AB$ и $AC$. Провести перпендикуляры от $P$ на $AB$ и $AC$; если расстояния до этих прямых равны, то $P$ на биссектрисе; иначе по знаку разности видно, с какой стороны биссектрисы он находится.
4. Триангуляция «ближайшей вершины» (Вороной):
- Проведя три перпендикулярные биссектрисы $AB,BC,CA$, получаем три области (внутри треугольника): точка $P$ принадлежит какому‑то «ближайшему» сектору. Если, скажем, $PA<PB$ и $PA<PC$, то $P$ в ячейке вершины $A$ (точно ближе к $A$, чем к $B$ и $C$).
Полезные неравенства и общие оценки
- Треугольные неравенства:
$$PA+PB>AB,PB+PC>BC,PC+PA>CA.$$ - Связь сумм и порядка расстояний:
- Если, например, $PA+PB$ — наименьшая из трёх сум, то $PA$ и $PB$ — два наименьших из $\{PA,PB,PC\}$. В общем минимальная из сум равна сумме двух наименьших расстояний.
- Если $PA+PB>PB+PC$, то $PA>PC$ и наоборот (см. формулу в начале).
Что можно сказать о медианах и биссектрисах
- Биссектрисы углов тестируются строением расстояний до соответствующих сторон (см. пункт 3). Зная относительные величины $PA,PB,PC$ и знаки разностей расстояний до сторон, можно однозначно определить, по какую сторону каждой биссектрисы лежит $P$.
- Медианы сами по себе не задаются равенством сум или разностей расстояний к вершинам; медиана от $A$ — прямая $A$–середина $BC$. Прямых равенств вида $PA-\ast$ для теста «слева/справа от медианы» нет. Тем не менее комбинация информации:
- ближайшая вершина (из сравнения $PA,PB,PC$) +
- положение относительно биссектрис углов
даёт достаточно сильную количественную информацию о том, в какой «части» треугольника (по отношению к медианам) находится $P$. Но точное утверждение «лежат ли P и вершина A по одну сторону медианы из A» требует дополнительной проверки (например, построить прямую медианы и проверить на какой стороне $P$ находится).
Общие закономерности для таких внутренних точек
- Положение определяется полностью знаком/порядком трёх чисел $PA,PB,PC$. Точки с попарно различными суммами — это «общие» (несимметричные) внутренние точки, не лежащие на перпендикулярных биссектрисах пар вершин и не лежащие точно на биссектрисах углов.
- Геометрические семейства уровней:
- уровни $PA+PB=$const — эллипсы (аналогично для других пар);
- уровни $PA-PB=$const — гиперболы с фокусами $A,B$;
- уровни дист. до прямых равны — биссектрисы углов.
- Специальные точки треугольника (медианы, биссектрисы, перпендикулярные биссектрисы, центры Эллипсов/гипербол) — это границы областей с равенствами; общая позиционная информация достигается сочетанием построений, перечисленных выше.
Краткий алгоритм практической проверки для заданного $P$ 1. Измерить/построить $PA,PB,PC$ (или сравнить через перпендикулярные биссектрисы).
2. По знакам разностей $PA-PB,PB-PC,PC-PA$ определить, в какой из трёх ячеек «ближайшей вершины» лежит $P$.
3. Опустить перпендикуляры на стороны, сравнить расстояния до сторон для проверки положения относительно биссектрис.
4. При необходимости нарисовать эллипсы $PA+PB=\text{const}$ и т.п. для качественной картины.
Эти простые построения и неравенства дают полный набор инструментов для локализации произвольной внутренней точки (включая случаи, когда суммы попарно не равны).