Определения (несколько эквивалентных формулировок)
- Через проекцию: пусть прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Возьмём ортогональную проекцию $l^{\prime }$ прямой $l$ на $\alpha$. Угол между прямой и плоскостью — это острый угол между $l$ и $l^{\prime }$:
$\phi =\angle (l,l^{\prime })$.
- Через сечение, перпендикулярное плоскости: рассмотрим плоскость $\beta$, проходящую через $l$ и перпендикулярную $\alpha$. Тогда $\beta \cap \alpha$ — некоторая прямая $m$ через $O$, и угол между прямой и плоскостью равен углу между $l$ и $m$:
$\phi =\angle (l,m)$.
- Через нормаль (векторно): пусть $v$ — направляющий вектор прямой $l$, $n$ — нормаль к плоскости $\alpha$. Тогда если $\psi$ — угол между $v$ и $n$, то угол между прямой и плоскостью $\phi$ удовлетворяет $\phi =90^{\circ }-\psi$. Эквивалентно
$$\sin \phi =\frac{|v\cdot n|}{\Vert v\Vert \Vert n\Vert },\phi =\arcsin \frac{|v\cdot n|}{\Vert v\Vert \Vert n\Vert }.$$
Краткое доказательство эквивалентности
- Проекция ↔ сечение: ортогональная проекция $l^{\prime }$ лежит в $\alpha$ и совпадает с пересечением $\alpha$ с той плоскостью $\beta$, проходящей через $l$ и перпендикулярной $\alpha$. Значит углы в двух определениях совпадают.
- Нормаль ↔ предыдущие: пусть $m$ — линия в $\alpha$, как выше. В плоскости $\beta$ линия $m$ перпендикулярна нормали $n$. В плане треугольника, где одна сторона — проекция, другая — направление $l$, угол между $l$ и плоскостью дополняет угол между $l$ и нормалью, откуда $\phi =90^{\circ }-\psi$ и формула через скалярное произведение.
Особые случаи
- Если $l\parallel \alpha$, то $\phi =0^{\circ }$ (проекция совпадает с параллельной прямой в плоскости).
- Если $l\perp \alpha$, то $\phi =90^{\circ }$ (проекция вырождается в точку).
- Для вычислений удобно требовать острый угол $\phi \in [0,90^{\circ }]$.
Методические трудности при обучении и рекомендации
- Путаница между «углом между прямыми» и «углом между прямой и плоскостью». Рекомендация: показать последовательность конструкций (прямая → плоскость, через плоскость, через проекцию) на наглядной модели.
- Непонимание роли ортогональной проекции: часто ученики проецируют произвольно; важно подчеркнуть, что проекция должна быть перпендикулярной к плоскости.
- Визуализация в 2D: рисунки на плоскости вводят искажение; полезно использовать модельные кубики, динамическую геометрию (GeoGebra) или объёмные макеты.
- Абстрактность нормали и скалярных формул: для старших классов — ввести векторный подход и формулу $\sin \phi =\frac{|v\cdot n|}{\Vert v\Vert \Vert n\Vert }$; для младших — опираться на построение через перпендикулярную сечающую плоскость и проекции.
- Особые случаи и терминология (острый/нормальный угол, вырожденная проекция) нужно отработать на примерах, чтобы избежать «многочленности» ошибок.
- Практика: давать задания на построение (через перпендикуляр и через проекцию) и на вычисление (координаты/векторы), сравнивать результаты — это укрепляет понимание эквивалентности определений.
Кратко: давать чёткие конструкции (проекция; сечение перпендикулярной плоскости; векторная формула), демонстрировать их равенство и решать разнотипные задачи с наглядными моделями и векторными вычислениями.