Ключевая идея. Пусть центры данных окружностей $O_1,O_2$, радиусы $r_1,r_2$, расстояние между центрами $D=|O_1{O}_2|$. Для любой прямой $l$, пересекающей окружность с центром $O_i$ под углом $\alpha$ расстояние от $O_i$ до $l$ равно
$$d_i=r_i\cos \alpha .$$ Значит условие «пересекает обе окружности под углом $\alpha$» эквивалентно условию «$l$ одновременно является касательной к двум концентрированным окружностям $C_1^{\prime },C_2^{\prime }$ с центрами $O_1,O_2$ и радиусами
$$r_i^{\prime }=r_i\cos \alpha .$$»
Отсюда вся классификация и зависимость от $\alpha$ и взаимного расположения исходных окружностей сводятся к известной задаче о общих касательных двух окружностей $C_1^{\prime }$ и $C_2^{\prime }$.
1) Условия существования и число прямых.
- Если $|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|<D<r_1^{\prime }+r_2^{\prime }$, то окружности перекрываются → существуют ровно 2 общие касательные (внешние).
- Если $D>r_1^{\prime }+r_2^{\prime }$, окружности раздельны → существует 4 общие касательные (2 внешние и 2 поперечные).
- Если $D=r_1^{\prime }+r_2^{\prime }$ (внешняя касательность) → 3 касательные (две внешние и одна поперечная вырождающаяся).
- Если $D=|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|$ (внутренняя касательность) → 1 касательная.
- Если $D<|r_1^{\prime }-r_2^{\prime }|$ (одна окружность лежит внутри другой) → общих касательных нет.
2) Геометрическое расположение прямых и угол с линией $O_1{O}_2$.
Если выбрать знаки ${\sigma }_i=\pm 1$ (соответствующие типам касательности: внешняя/внутренняя относительно центра), то направление прямой $l$ относительно вектора $O_1{O}_2$ определено соотношением
$$\sin \phi =\frac{{\sigma }_2{r}_2^{\prime }-{\sigma }_1{r}_1^{\prime }}{D},$$ где $\phi$ — угол между направлением прямой и отрезком $O_1{O}_2$. Допустимо только те комбинации знаков, для которых правая часть по модулю не превосходит $1$.
3) Частные случаи.
- $\alpha =0$: $r_i^{\prime }=r_i$ — это обычные общие касательные исходных окружностей.
- $\alpha =\frac{\pi }{2}$: $r_i^{\prime }=0$ — требуются прямые на расстоянии $0$ от центров, т.е. прямые, проходящие через оба центра; при $O_1\ne O_2$ такая прямая единственна (отрезок $O_1{O}_2$ продолжённый).
- При изменении $\alpha$ радиусы $r_i^{\prime }$ меняются как $r_i\cos \alpha$, поэтому число и вид допустимых прямых меняются по описанным выше критериям (вплоть до исчезновения решений, когда одна «сжатая» окружность входит внутрь другой).
Кратко: множество прямых, пересекающих обе исходные окружности под углом $\alpha$, равно множеству общих касательных двух окружностей с теми же центрами и радиусами $r_i\cos \alpha$; все свойства (число, направление, положение) определяются стандартной теорией общих касательных этих «сжатых» окружностей, т.е. зависят от $\alpha$ только через множитель $\cos \alpha$ и от расстояния $D$.