Короткий ответ: утверждение в формулировке «для любого многогранника и любых данных (площади участков и константы $d$) это всегда возможно» — в общем неверно. Необходимое и достаточное поведение таково: количество участков $n$ обязано быть по порядку величины площади поверхности, делённой на квадрат $d$. Ниже — пояснение и обоснование.
1) Необходимое условие (контрпример).
Любой участок с геодезическим диаметром $\le d$ содержится в геодезическом шаре радиуса $d$ вокруг любого его пункта, поэтому его площадь не превосходит максимальной площади геодезического шара радиуса $d$ на данной поверхности. Для выпуклой поверхности (внутренняя гауссова кривизна $\ge 0$) из сравнения кругов следует оценка
$$\text{макс. площадь шара радиуса}d\le \pi d^2.$$ Следовательно, если для участков задана площадь $A$ и $A>\pi d^2$, то ни один участок с диаметром $\le d$ такой площади существовать не может — значит разбиение с такими параметрами невозможно. В частности, если поверхность имеет площадь $\mathrm{Area}(S)$, то обязательно
$$n\ge \lceil \frac{\mathrm{Area}(S)}{\pi d^2}\rceil .$$
2) Достаточное утверждение (существование при большом $n$).
Обратно, для любого выпуклого многогранника $S$ и любого $d>0$ существует разбиение поверхности на связные геодезически связные участки диаметра $\le d$, если разрешить $n$ достаточно большим. Конструкция (эскиз):
- Разбиение поверхности на мелкую геодезическую триангуляцию с максимальным диаметром треугольников $\ll d$ (это можно сделать, поскольку поверхность компактна).
- Каждую требуемую по площади часть собирают как связную композицию соседних мелких треугольников (жадно добавляя треугольники, пока суммарная площадь не приблизится к нужной). Поскольку площади треугольников можно сделать сколь угодно малыми, можно добиться точного соответствия площадям, а границы можно чуть подправить по коротким геодезическим отрезкам, не превышающим заданного $d$, так что диаметр компоненты остаётся $\le d$.
Таким образом существует константа $C>0$ (универсальная для класса выпуклых поверхностей) такая, что для любой поверхности
$$n\le C\frac{\mathrm{Area}(S)}{d^2}$$ даёт достаточно много участков для построения требуемого разбиения.
3) Вывод — зависимость $n$ от $d$ и размеров многогранника:
Минимально необходимый порядок величины для $n$ пропорционален $\mathrm{Area}(S)/d^2$. Точнее,
$$\frac{\mathrm{Area}(S)}{\pi d^2}\lesssim n\lesssim C\frac{\mathrm{Area}(S)}{d^2},$$ где левая оценка — фундаментальное препятствие (контрпример для слишком малого $n$), правая — конструктивное утверждение о достижимости при достаточно большом $n$. В частности, если задана фиксированная площадь участков $A$, необходимо и достаточно (в смысле порядка) требовать
$$A\lesssim d^2$$ (иначе разбиение с ограниченным диаметром невозможно).
Замечание: в отдельных частных ситуациях можно дать более точные константы (для гладких выпуклых поверхностей через теоремы сравнения; для многогранников — учитывая геометрию рёбер и вершин), но общая зависимость остаётся $\Theta (\mathrm{Area}(S)/d^2)$.