Формулировка (обобщённая Ceva и Menelaus, с учётом направлений и возможности бесконечных точек).
- Ceva. В треугольнике $ABC$ пусть точки $D\in BC$, $E\in CA$, $F\in AB$ (включая случай точки в бесконечности, тогда соответствующая прямая параллельна). Лучи $AD,BE,CF$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполнено
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=1,$$ где дроби — направленные отношения отсечек (в случае бесконечных точек отношение понимается как предел или соответствующий проектный смысл).
- Menelaus. Для треугольника $ABC$ и точек $X\in BC$, $Y\in CA$, $Z\in AB$ (включая бесконечные) точки $X,Y,Z$ коллинеарны тогда и только тогда, когда
$$\frac{BX}{XC}\cdot \frac{CY}{YA}\cdot \frac{AZ}{ZB}=-1,$$ опять же в смысле направленных отношений (знак «$-1$» отражает смену ориентации при проходе линии через вершину).
Замечание о гомотетии и проективных преобразованиях: свойства «конкурентности» и «коллинеарности» — инцидентные — инвариантны при любом проективном преобразовании. Гомотетия (и вообще аффинные и подобные) сохраняет отношения отрезков на одной прямой, поэтому формулы Ceva/Menelaus корректны и под гомотетиями без дополнительных переходов.
Доказательство 1 (синтетико‑проектное, через проектирование на удобное положение).
- Идея: так как утверждение о конкурентности (или коллинеарности) инварiante при проективных преобразованиях, можно применить подходящий проективный перевод треугольника в «удобное» положение, где доказательство делается тривиальным интерцепт‑теоремой (теоремой о пропорциях) или подобием.
Пример для Ceva. Возьмём произвольные $A,B,C$ и точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$. Пусть $T$ — проективное преобразование, переводящее точку пересечения $P=AD\cap BE\cap CF$ (если оно существует) в точку бесконечности вдоль некоторого направления; в этом образе две из трёх прямых, скажем $B^{\prime }{E}^{\prime }$ и $C^{\prime }{F}^{\prime }$, станут параллельны. В таком положении по теореме о пропорциях (из подобия прямоугольных трапеций или по свойствам параллельных секущих) легко получить
$$\frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \frac{C^{\prime }{E}^{\prime }}{E^{\prime }{A}^{\prime }}\cdot \frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}=1.$$ Так как проективное преобразование переводит инцидентности и отправляет направленные отношения в соответствующие проектные пределы (а для параллельных/бесконечных случаев соотношения понимаются как пределы), обратным преобразованием получаем формулу Ceva в исходной конфигурации. Аналогично доказывается Menelaus: проецируем так, чтобы одна из вершин ушла в бесконечность и применяем теорему о секущих/подобии.
Доказательство 2 (алгебраическое, барицентрические координаты).
- В барицентрических гомогенных координатах относительно треугольника $ABC$ положим вершины как
$$A=(1:0:0),B=(0:1:0),C=(0:0:1).$$ Точка на стороне $BC$ имеет вид $D=(0:d_1:d_2)$ (гомогенно), а отношение направленных отрезков вычисляется как
$$\frac{BD}{DC}=\frac{d_2}{d_1}.$$ Аналогично пусть $E=(e_1:0:e_2)$ на $CA$ и $F=(f_1:f_2:0)$ на $AB$, тогда
$$\frac{CE}{EA}=\frac{e_1}{e_2},\frac{AF}{FB}=\frac{f_2}{f_1}.$$ Три луча $AD,BE,CF$ проходят через общую точку $P=(x:y:z)$ тогда и только тогда, когда $P$ коллинеарен с соответствующими парой вершин и точкой на противоположной стороне; условие коллинеарности $A,D,P$ даёт (из определителя или из равенства направленных координат)
$$d_{1}z=d_{2}y⟹\frac{z}{y}=\frac{d_2}{d_1}=\frac{BD}{DC}.$$ Аналогично из коллинеарности $B,E,P$ и $C,F,P$ получаем $\frac{x}{z}=\frac{CE}{EA}$ и $\frac{y}{x}=\frac{AF}{FB}$. Перемножая три равенства, получаем
$$\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB}=\frac{z}{y}\cdot \frac{x}{z}\cdot \frac{y}{x}=1,$$ и обратно: если произведение равно $1$, то существуют ненулевые $x,y,z$, удовлетворяющие указанным отношениям, значит существует общая точка пересечения, т.е. лучи конкурентны. Для Menelaus аналогично записывают барицентрики точки на прямой и получают условие с произведением равным $-1$ (знак возникает из ориентировки при прохождении через вершину).
Сравнение подходов.
- Синтетико‑проектный подход: даёт геометрическую интерпретацию, минимизирует алгебру, использует инвариантность при проективных преобразованиях — удобно для рассуждений о вырожденных/бесконечных случаях; требует умения выбрать удобное проективное отображение и работать с предельными ситуациями. Даёт наглядность и краткие доказательства через подобие и теорему о пропорциях.
- Барицентрические (или координатные) доказательства: алгебраичны, прямолинейны, формальны; легко охватывают все случаи, в том числе вырожденные и бесконечные, и дают немедленную вычислительную проверку. Менее наглядны, но удобны для обобщений (например, для вычислений в треугольной геометрии, для доказательств в аналитической геометрии и компьютерной реализации).
Вывод: Ceva и Menelaus — фундаментальные инцидентные утверждения, совместимые с гомоте­тиями и проективными преобразованиями; синтетический (проектный) путь даёт краткое и наглядное доказательство благодаря инвариантности, барицентрический — прямое и универсальное алгебраическое доказательство.