Уточнение и обозначения (коротко). Пусть заданы точки $A$ и $B$. Под «медианой, проведённой из третьей вершины» обычно понимают отрезок $CM$, где $M$ — середина отрезка $AB$. Пусть длина этой медианы равна $m$ (в одном из вариантов задачи задают именно длину медианы). Ниже — рассмотрение естественных смыслов задачи и алгоритмы / выводы.
1) Вариант A — задана длина медианы $m$ (и только она).
Алгоритм и решение:
- Построить середину $M$ отрезка $AB$ (построением перпендикулярной серединного перпендикуляра и его пересечения с $AB$).
- Построить окружность с центром в $M$ и радиусом $m$.
- Любая точка $C$ на этой окружности даёт треугольник $ABC$, в котором медиана из $C$ имеет длину $m$.
Разрешимость и количество решений: если $m>0$, решений бесконечно много (все точки окружности). Частные случаи: при $m=0$ получаем вырожденный случай $C=M$; если окружность проходит через $A$ или $B$ (т.е. $m=\frac{1}{2}AB$), то можно получить вырожденный треугольник при выборе $C=A$ или $C=B$, но в общем остаётся бесконечно много невырожденных треугольников.
Краткое доказательство: в треугольнике с фиксированными $A,B$ середина $M$ фиксирована; условие «медиана из третьей вершины имеет длину $m$» эквивалентно $CM=m$, т.е. $C$ лежит на окружности радиуса $m$ с центром в $M$.
2) Вариант B — задана сама отрезок‑медиана $CM$ (то есть заданы оба конца $C$ и $M$).
Тогда: если данный $M$ совпадает с серединой отрезка $AB$, треугольник уже полностью задан (точки $A,B,C$); если $M$ не является серединой $AB$, такой треугольник невозможен (противоречие с определением медианы).
3) Вариант C — задана прямая (линия), на которой лежит медиана (но не её длина).
Тогда $M$ — пересечение этой прямой с прямой $AB$ и поэтому фиксируется; далее $C$ может быть любой точкой на этой прямой (любая точка, отличная от $M$, даёт треугольник), т.е. снова бесконечно много решений.
Итого: для естественно понимаемого варианта (дана длина медианы) задача конструктивно тривиальна: строим середину $M$ и окружность радиуса $m$. Решений обычно бесконечно много; невозможность возникает только при противоречивых входных данных (например, если в задаче дан отрезок, претендующий на медиану, но его конец, заявленный как середина $AB$, не совпадает с реальной серединой).