Кратко: если три прямые попарно пересекаются в трёх разных точках, то они лежат в одной плоскости $\Pi$. Непосредственно нет непараллельной плоскости, которая пересекала бы все три прямые под одним и тем же ненулевым углом; единственная общая возможность — плоскость, параллельная $\Pi$ (угол $0$). Ниже — вывод и геометрическая интерпретация через нормаль и вращения.
Рассуждение.
1) Пусть прямые $L_i$ имеют единичные направляющие векторы $e_i$ и лежат в плоскости $\Pi$ с единичной нормалью $m$. Ищем плоскость $\Sigma$ с единичной нормалью $n$, которая с каждой $L_i$ образует один и тот же угол $\phi$. Угол между прямой и плоскостью задаётся формулой
$$\sin \phi =|e_i\cdot n|(i=1,2,3),$$ поскольку $\sin$ угла между прямой и плоскостью равен модулю скалярного произведения единичного направляющего вектора прямой и единичной нормали плоскости.
2) Разложим $n$ на компоненту вдоль $m$ и компоненту в плоскости $\Pi$:
$$n=(n\cdot m)m+p,p\in \Pi .$$ Поскольку $e_i\perp m$, имеем $e_i\cdot n=e_i\cdot p$. Обозначим константу $s=\sin \phi$. Тогда условие равных углов эквивалентно
$$|e_i\cdot p|=s(i=1,2,3).$$
3) Если $s>0$, то $p\ne 0$. Пусть $u=p/\Vert p\Vert$ — единичный вектор в $\Pi$. Тогда
$$|e_i\cdot u|=\frac{s}{\Vert p\Vert }=\text{const}$$ для всех $i$. Это означает, что углы между $u$ и все́ми $e_i$ имеют одинаковый модуль косинуса, т.е. каждый $e_i$ лежит на одной из двух прямых в $\Pi$, образованных поворотами $u$ на угол $\pm \alpha$. Следовательно, возможны не более двух различных направлений $e_i$ в $\Pi$. Для трёх различных направлений (случай треугольника пересекающихся прямых) это невозможно.
4) Остаётся единственный случай $s=0$. Тогда $e_i\cdot p=0$ для всех $i$, откуда $p=0$ и $n$ коллинеарен $m$. То есть $\Sigma$ параллельна $\Pi$ и угол $\phi =0$. Такая плоскость действительно образует с каждой из трёх прямых один и тот же угол (нулевой).
Интерпретация через нормаль и вращение.
- Условие равных углов переводится на нормаль $n$: её проекция $p$ на плоскость $\Pi$ должна иметь одинаковые скалярные произведения с направляющими векторам линий. Геометрически это значит, что проекция нормали задаёт ось симметрии в $\Pi$: все направления линий должны быть попарно симметричны относительно этой оси (в двух возможных позициях $\pm \alpha$). Иначе одинаковая величина скалярного произведения невозможна.
- С точки зрения вращений: существование ненулевой $p$ эквивалентно существованию направления в $\Pi$, относительно которого разворот на некоторый угол переводит одно направле­ние линии в другое; для трёх различных направлений нужна симметрия, которой нет у общего треугольника.
Итог (условие существования): для трёх непараллельных прямых, лежащих в одной плоскости (тригонометрический треугольник), не существует плоскости, пересекающей каждую из них под одним и тем же ненулевым углом. Единственная возможность — плоскость, параллельная плоскости, содержащей прямые, дающая угол $0$. Более общая допустимость ненулевого угла требует, чтобы направления прямых занимали не более двух различных позиций в плоскости (симметрия относительно некоторой оси).