Кратко: оба подхода дают доказательство, но с разной природой и областями применимости. Ниже — суть, короткая формальная проверка и плюсы/минусы при обобщениях.
Формулировка свойства (интуитивно): образ медиан треугольника при проективном преобразовании остаётся медианами тогда и только тогда, когда преобразование сохраняет середины отрезков (т.е. некоторый класс аффинных соотношений — деление отрезка в отношении $1:1$).
Короткая аналитическая проверка в однородных координатах
- Пусть вершины в аффинных однородных координатах заданы как векторы $(x,y,1)$. Проективное преобразование задаётся невырожденной матрицей $M\in GL(3)$ и действует как
$$X^{\prime }\sim MX.$$ - Для двух аффинных точек $A,B$ их середина (в аффинной модели) пропорциональна вектору $A+B$. Требование «середина переводится в середину» означает (с учётом однородности)
$$M(A+B)\text{коллинеарно}MA+MB,$$ а это для произвольных $A,B$ эквивалентно линейности образа сумм, что даёт ограничение на матрицу $M$: последняя строка должна быть пропорциональна $(0,0,1)$, т.е. преобразование оставляет бесконечную прямую фиксированной и сводится к аффинному виду. Следовательно: проектия сохраняет середины (и значит медианы) тогда и только тогда, когда она аффинна (сохраняет параллельность / линию на бесконечности).
Интерпретация через инварианты: проективные преобразования сохраняют кросс-отношение и гармоническое деление, но не арифметический средний. Середина — не проективный инвариант, а аффинный; потому условие «медианы переходят в медианы» эквивалентно сохранению этих аффинных соотношений.
Подход с комплексными числами (плоскость ≃ $\mathbb{C}$)
- В аффинной модели плоскость представляют как комплексная прямая $z\in \mathbb{C}$, середина $M$ двух точек $z_1,z_2$ равна $(z_1+z_2)/2$. Аффинные преобразования имеют вид $z^{\prime }=\alpha z+\beta$ и явно сохраняют середины.
- Проективные преобразования на проективной прямой задаются дробно-линейными отображениями $z^{\prime }=\frac{az+b}{cz+d}$, которые в общем не сохраняют арифметическую сумму, поэтому середины не сохраняются. Доказательство «середина сохраняется ⇔ отображение аффинно» получается коротко через проверку функционального уравнения на сумму.
- Комплексный метод даёт компактные формулы и часто короче для плоских выкладок, особенно если нужны углы, окружности, крутки и т. п.
Преимущества/недостатки (сравнение)
1) Аналитическая геометрия (однородные координаты, матрицы)
- Плюсы:
- Полная общность для проективной геометрии; естественно работает в произвольной размерности (${\mathbb{P}}^n$).
- Лёгко формализовать и учесть вырожденные случаи; мощный аппарат линейной алгебры.
- Ясно показывает, какие именно строки/столбцы матрицы отвечают за «аффинность» (внятное условие на матрицу).
- Минусы:
- Вычислительно громоздко, может скрывать геометрическую интуицию.
- Формулы бывают громоздки для ручных выкладок.
2) Комплексные числа / дробно-линейные отображения
- Плюсы:
- Компактность и элегантность вычислений в плоскости (2D); удобно для задач с углами, окружностями, симметриями.
- Простая работа с выражениями вида $(z_1+z_2)/2$, быстрое проверять, сохраняется ли середина.
- Минусы:
- Менее естественны для чисто проективных инвариантов (кросс-отношение удобнее, но середина — аффинное понятие).
- Труднее масштабировать в высшие размерности (нужна замена: комплексные пространства и ${\mathbb{CP}}^n$, но интерпретация меняется).
- Часто скрывают реальную/мнимую структуру и ориентацию, что важно при обобщениях.
Обобщения
- Для вопросов, основанных на проективных инвариантах (кросс-отношение, гармоническое деление, проективная связь) — предпочтительны однородные координаты и линейная алгебра; они легко переносятся на ${\mathbb{P}}^n$.
- Для задач, где ключевое — аффинные соотношения (середины, деление в фиксированном отношении, центры масс) — удобнее работать в аффинных координатах; доказательство выше показывает, что требование сохранения таких соотношений резко ограничивает проекцию до аффинной.
- Комплексный подход хорош для двумерных специальных обобщений (окружности, углы, симметрии), но при переносе на многомерные случаи и на чисто проективные инварианты он либо теряет удобство, либо требует перехода к более абстрактной теории комплексных проективных пространств.
Короткий итог: для доказа «медианы переходят в медианы ⇔ сохраняются середины (а значит преобразование аффинно)» наиболее прямой и общий путь — однородные координаты/матрицы (аналитическая геометрия). Комплексный метод даёт компактные 2D выкладки и интуицию, но хуже масштабируется и менее естественен для чисто проективных/высокоразмерных обобщений.