Рассматриваем преобразование f: плоскость → плоскость, заданное поворотом на угол $\alpha$ вокруг точки $O$ и затем параллельным переносом вектором $v$. В удобной форме (вектора относительно некоторой системы координат, где $O$ — начало) его можно записать как
$$f(x)=R_{\alpha }x+t,$$ где $R_{\alpha }$ — ортогональная матрица поворота с $\det R_{\alpha }=1$, а $t$ — вектор переноса (в частности $t=v$ при выборе начала в $O$).
1) Основное доказательство инвариантов (кратко).
- Для любых точек $A,B$ имеем
$$f(A)-f(B)=R_{\alpha }(A-B).$$ Поскольку $R_{\alpha }$ ортогональна, сохраняется скалярное произведение:
$$(R_{\alpha }u)\cdot (R_{\alpha }u)=u\cdot u\text{для любого}u.$$ Отсюда напрямую следуют все перечисленные ниже инварианты (длины, углы, ориентация и т.п.).
2) Полный перечень инвариантов (классификация):
- Метрика (евклидово расстояние): для любых $A,B$ $$|f(A)f(B)|=|AB|.$$ - Углы (включая ориентированные): $\angle f(A)f(B)f(C)=\angle ABC$.
- Скалярные произведения и норма векторов между точками: $(f(A)-f(B))\cdot (f(C)-f(D))=(A-B)\cdot (C-D)$.
- Коллинеарность и порядок точек (отношение принадлежности и свойство «между»): сохраняются.
- Параллельность и перпендикулярность прямых: если прямые параллельны/перпендикулярны до преобразования — останутся такими.
- Формы геометрических объектов: отрезки, многоугольники, окружности переводятся в отрезки, многоугольники, окружности соответственно; длины сторон, углы, периметр, отношение сторон — сохраняются (конгруэнтность фигур).
- Площадь (и ориентированная площадь) фигур: площадь сохраняется; знак площади (ориентация) сохраняется ($\det R_{\alpha }=+1$).
- Центры масс, центроиды, барицентрические координаты внутри фигуры: положение относительное фигуры сохраняется (образ центра тяжести — центр тяжести образа).
- Нормали и угол наклона векторов (включая нормали поверхности в 2D): поворачиваются вместе с фигурой, их длины и взаимные углы сохраняются.
- Инварианты, отсутствующие: абсолютные координаты, расстояния до фиксированных внешних осей/точек (если не учитывать образ этих осей/точек) — не сохраняются; оси, привязанные к глобальной системе координат, обычно изменяются.
3) Специальная классификация по значению $\alpha$:
- Если $\alpha \not\equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$, то существует ровно одна неподвижная точка $P$ (фиксированная точка), решающая
$$(I-R_{\alpha })P=t,$$ и потому $f$ эквивалентна повороту на угол $\alpha$ вокруг этой точки $P$. (Матрица $I-R_{\alpha }$ обратима при $\alpha \not\equiv 0$.)
- Если $\alpha \equiv 0(\mathrm{mod}2\pi )$, то $R_{\alpha }=I$ и $f$ — чистый перенос $f(x)=x+t$. Неподвижных точек нет, если $t\ne 0$.
- Частный случай $\alpha =\pi$: это центральная симметрия (поворот на $180^{\circ }$) вокруг некоторого центра $P$.
4) Короткие выводы о природе преобразования:
- f — евклидово (жёсткое) движение, сохраняющее всю локальную и глобальную евклидову геометрию фигуры — именно поэтому говорят о конгруэнтности фигур.
- Всё, что выражается через расстояния и скалярные произведения (включая углы и площади), инвариантно.
5) Примеры задач из компьютерной графики, где эти инварианты критичны:
- Регистрирование облаков точек и 3D/2D сопоставление (ICP — Iterative Closest Point): соответствие основано на сохранении попарных расстояний/углов; нужно учитывать, что искомое преобразование — поворот+смещение.
- Оценка позы (pose estimation) и трекинг жёстких тел: длины костей (сегментов) в скелетной анимации неизменны при движении; при оптимизации по данным сенсоров используют сохранение расстояний между суставами.
- Коллизия и физический движок для жёстких тел: инварианты расстояний и нормалей позволяют корректно обновлять столкновения и отклонения без деформации.
- Обнаружение и сопоставление ключевых точек/дескрипторов (shape matching): дескрипторы, инвариантные к жестким движениям, строятся на попарных расстояниях/углах; важна инвариантность к поворотам и переносам.
- Рендеринг и трансформации моделей (модель→мир→камера): преобразования объектов — повороты+переносы; нормали и освещение правильно трансформируются благодаря сохранению углов и длины нормалей (при ортонормированном R).
- Геометрическая компрессия/хеширование форм: для устойчивого поиска фигур используют инвариантные признаки (напр., набор расстояний между контрольными точками).
- Проектирование пользовательских интерфейсов и HUD: при повороте/переносе сцены элементы, связанные с объектом (маркировка, рамки), должны сохранять относительные положения и ориентацию.
Короткое резюме: композиция поворота на $\alpha$ и переноса — евклидово движение $f(x)=R_{\alpha }x+t$. Главные инварианты — все величины, выражаемые через расстояния и скалярные произведения (длины, углы, площади, коллинеарность, параллельность, ориентация и т. д.). Это знание ключевое в задачах регистрации, трекинга, физики жёстких тел, сопоставления форм и корректной трансформации нормалей при рендеринге.