Кратко: свёрнутое представление, критерии и практические методы.
1) Матрица и инварианты.
- Квадратичная часть задаётся симметрической матрицей
$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B/2\\ B/2& C\end{array}\right).$$ - Основный дискриминант квадрики $\Delta =B^2-4AC$.
- Для учёта линейных и свободного членов удобно ввести расширенную матрицу
A=(AB/2D/2B/2CE/2D/2E/2F), \mathcal A=\begin{pmatrix}A & B/2 & D/2\\[4pt] B/2 & C & E/2\\[4pt] D/2 & E/2 & F\end{pmatrix},
A= AB/2D/2 B/2CE/2 D/2E/2F , её определитель $\det \mathcal{A}$ показывает вырожденность конуса.
2) Нахождение центра (если он есть).
- Центр существует и конечен тогда и только тогда $\det M\ne 0$ (эквивалентно $\Delta \ne 0$). Центр $\mathbf{c}=(x_0,y_0{)}^T$ решает
$$M\mathbf{c}=-\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c}D\\ E\end{array}\right),$$ откуда (при $\Delta \ne 0$)
$$x_0=\frac{2CD-BE}{B^2-4AC},y_0=\frac{2AE-BD}{B^2-4AC}.$$
3) Устранение смешанного члена (поворот осей).
- Ортогональная замена координат на угол $\varphi$ с
$$\tan 2\varphi =\frac{B}{A-C}$$ устраняет член $xy$. Это эквивалент диагонализации матрицы $M$ ортогональным преобразованием: получаем собственные значения
$${\lambda }_{1,2}=\frac{A+C}{2}\pm \frac{1}{2}\sqrt{(A-C{)}^2+B^2}.$$
4) Классификация по знакам собственных значений (после сдвига в центр, если он есть).
- Если $\Delta =B^2-4AC<0$ (то есть ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ одного знака) и коника невырождена ($\det \mathcal{A}\ne 0$) — действительная эллипс. Если дополнительно $M$ пропорциональна единичной матрице (равные собственные значения), то эллипс — окружность: это возможно только при $A=C$ и $B=0$ (эквивалентно ${\lambda }_1={\lambda }_2$).
- Если $\Delta >0$ (собственные значения разных знаков) и невырождена — гипербола.
- Если $\Delta =0$ (один собственный собственный = 0) и коника невырождена — парабола.
- Вырождённые случаи: $\det \mathcal{A}=0$. Тогда коника факторизуется (например, в пару прямых, вырожденную точку, пустое множество). Частный случай: пара реальных прямых возникает, когда многочлен раскладывается в линейные множители; тест на вырожденность — $\det \mathcal{A}=0$ плюс соответствующие условия на коэффициенты (или факторизация).
5) Канонические формы после преобразований.
- После сдвига в центр и ортогональной диагонализации получим форму
$${\lambda }_1{u}^2+{\lambda }_2{v}^2=k,$$ где знак ${\lambda }_i$ и знак $k$ дают канонические равенства:
- Эллипс: $\frac{u^2}{a^2}+\frac{v^2}{b^2}=1$ (${\lambda }_1,{\lambda }_2$ одного знака, $k$ того же знака).
- Гипербола: $\frac{u^2}{a^2}-\frac{v^2}{b^2}=1$.
- Парабола: после аффинного приведения — $v=\alpha u^2$.
- Пара прямых: $({\ell }_{1}u+{\ell }_{2}v)({\ell }_{3}u+{\ell }_{4}v)=0$.
6) Сопоставление методов.
- Диагонализация квадратичной формы (линейная алгебра, нахождение собственных векторов/значений $M$) — даёт жёсткий инвариант (собственные значения) и даёт каноническую квадратичную часть; требуется отдельно убрать линейные члены сдвигом.
- Поворот координат — частный случай ортогональной диагонализации, практичная формула $\tan 2\varphi =\frac{B}{A-C}$ для удаления смешанного члена.
- Аффинные преобразования (включая масштабирование вдоль осей и сдвиги) позволяют привести уравнение к стандартным каноническим видам (эллипс/гипербола/парабола/пара прямых). Аффинные преобразования изменяют углы и длины, но сохраняют классификацию по знакам собственных значений (порядок положительных/отрицательных частей квадратичной формы) и вырожденность.
Короткая алгоритмическая инструкция для практики:
1. Вычислить $\Delta =B^2-4AC$ и $\det \mathcal{A}$.
2. Если $\det \mathcal{A}=0$ — коника вырождена (исследовать факторизацию).
3. Если $\Delta \ne 0$, найти центр $(x_0,y_0)$, сдвинуть систему.
4. Диагонализовать $M$ (поворот на $\varphi$ по формуле выше) — получить ${\lambda }_{1,2}$.
5. По знакам ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ (и значению правой части после сдвига) сделать окончательную классификацию; при ${\lambda }_1={\lambda }_2$ — окружность.
Если нужно, могу показать пример пошагово для конкретных коэффициентов.