Краткая историко-логическая ретроспекция и последствия изменения аксиомы параллельности.
1) Евклид (ок. IV в. до н.э.)
- В «Началах» пятая постулат формулировался словесно: если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние углы по одну сторону в сумме меньшие двух прямых, то эти прямые, продолженные, пересекутся с той стороны. Евклид использовал эту постулат как «необходимую» для многих доказательств; он не сводил её к более простым аксиомам.
- Собственная рабочая формулировка параллельности: «непересекающиеся прямые в одной плоскости» (неформально).
2) Попытки вывести постулат (XVII–XVIII вв.)
- Много попыток доказать пятую постулату из остальных аксиом (Прокл, Джон Пелл, Ламбер, Саккери и др.). Метод типичен: предположить противоположное (обычно «две параллели» или «нет параллелей») и вывести противоречие. Саккери/Ламберт разработали «квадрат Саккери» и «квадрат Ламберта», получили три гипотезы (сумма углов в гип. равна, больше или меньше двух прямых) — обнаружили, что «острая» гипотеза не даёт явного противоречия и ведёт к непривычным следствиям.
3) Независимость и рождение неевклидовой геометрии (XIX в.)
- Лобачевский (1826–1829) и независимо Болyai (1832) последовательно приняли отрицание евклидовой параллельности: через точку вне прямой проходит как минимум две не пересекающиеся с данной прямые. Они развили гиперболическую геометрию со своей «угловой мерой параллелизма» и синтетическими теоремами.
- Формулы и характерные свойства (гиперболическая геометрия):
- Сумма углов треугольника: $\alpha +\beta +\gamma <\pi$.
- Дефект $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )>0$.
- Площадь треугольника пропорциональна дефекту: при постоянной кривизне $K$ (для гиперболы $K<0$) общая формула
$$A=\frac{\alpha +\beta +\gamma -\pi }{K}.$$ (для стандартной нормировки при кривизне $-1/R^2$ дают $A=R^2(\pi -(\alpha +\beta +\gamma ))$.)
- Угол параллельности $\Pi (d)$ от расстояния $d$ до прямой: при кривизне $-1/R^2$ $$\tan \frac{\Pi (d)}{2}=e^{-d/R}.$$ - Важный шаг: Белтрами (1868), Клейн, Пуанкаре создали модели гиперболической плоскости (псевдосфера, модель Белтрами-Клейна, модель Пуанкаре), показав непротиворечивость гиперболической геометрии относительно евклидовой — т.е. независимость пятого постулата от остальных аксиом.
4) Риман (Риманова/эллиптическая геометрия)
- В выступлении 1854 г. Риман предложил геометрию на поверхностях постоянной положительной кривизны (сфера с отождествлением антипод), где параллельных прямых нет: любые «прямые» (великие круги) пересекаются.
- Для эллиптической геометрии:
- Сумма углов треугольника: $\alpha +\beta +\gamma >\pi$.
- Дефект (теперь положительная «избыточность») $\delta =\alpha +\beta +\gamma -\pi >0$, и площадь задаётся той же формулой с положительной $K$:
$$A=\frac{\alpha +\beta +\gamma -\pi }{K}.$$ - Риман ввёл идею метрики и кривизны как основных понятий, что породило дифференциально-геометрический подход.
5) Аксиоматические и методологические последствия
- Эквивалентные формулы параллельности: Playfair’овское утверждение «через точку $P\notin l$ проходит не более одной прямой, не пересекающей $l$» формализуется как
$$\exists !m\text{через}P:m\cap l=\varnothing ,$$ и эквивалентно пятым постулату в евклидовой аксиоматике.
- Независимость постулата: появление непротиворечивых альтернатив (гиперболической и эллиптической) показало, что пятый постулат не выводим из остальных — поменяв его, мы получаем качественно разные геометрии.
- Методы доказательства:
- В евклидовой геометрии многие теоремы «зависят» от пятого постулата; при переходе к нейтральной геометрии (евклидские аксиомы без пятого) вычленяют теоремы, независимые от постулата.
- В неевклидовых геометриях доказательства стали использовать: модели (аналитические, проективные), методы дифференциальной геометрии (кривизна), функции и преобразования (Пуанкаре, Клейн — Эрлангенская программа), а также логико-аксиоматический подход (Гильберт).
- Структурные изменения:
- Параллельность перестаёт быть универсальной характеристикой: в гиперболической — через точку проходит более одной параллели; в эллиптической — параллелей нет.
- Отсутствие подобия как слабой формы масштабируемости: в геометриях с ненулевой кривизной существует естественный масштаб (радиус кривизны), поэтому классическая евклидова свобода подобия исчезает — часто «подобные» треугольники равны.
- Метрические и глобальные свойства (сумма углов, площади, поведение геодезических) кардинально меняются и зависят от знака и величины кривизны $K$.
- Переход к аксиоматике (Гильберт и далее) и к моделям сделал возможным строгую формализацию, доказательство относительной непротиворечивости и систематизацию геометрий как различных моделей аксиоматических теорий.
Краткий итог: изменение или отказ от евклидовой пятой аксиомы привёл к созданию двух принципиально разных геометрий (гиперболической и эллиптической), показал независимость пятого постулата, заставил перейти от чисто синтетических приёмов к модельным, аналитическим и дифференциальным методам и изменил базовые метрические и топологические свойства пространства (уникальность параллели, сумма углов, понятие подобия, наличие естественной шкалы через кривизну).