Коротко: из условия $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D$ и суммы углов $360^{\circ }$ следует $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ }$, т.е. четырёхугольник цикличен. Чтобы он был бицентрическим (вписан и описан одновременно), нужно и достаточно, чтобы он был также описан (имел вписанную окружность). Условие описанности (теорема Пито) в терминах сторон выглядит так:
- Обозначим $a=AB,b=BC,c=CD,d=DA$. Четырёхугольник описан тогда и только тогда, когда
$$a+c=b+d.$$
Краткое доказательство: при наличии вписанной окружности равные касательные дают $a=d_1+d_4,b=d_2+d_1,c=d_3+d_2,d=d_4+d_3$, откуда $a+c=b+d$; обратная конструкция с пересечением биссектрис даёт достаточность.
Алгоритм проверки по сторонам (вход: положительные $a,b,c,d$, порядок соответствует ABCD):
1. (Проверка цикличности — если не дано) Проверить, что существует циклический четырёхугольник с такими сторонами. Практически проверку можно сделать через неотрицательность подкоренного выражения Брахмагупты:
$$s=\frac{a+b+c+d}{2},{\Delta }^2=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d).$$ Требуется ${\Delta }^2\ge 0$. (Если цикличность заранее известна, этот шаг пропустить.)
2. Проверить условие Пито:
$$a+c\stackrel{?}{=}b+d.$$ В численных вычислениях допустить маленькую погрешность: $|(a+c)-(b+d)|<\epsilon$.
3. Если в шаге 1 выполнено ${\Delta }^2\ge 0$ и в шаге 2 выполнено равенство Пито, то четырёхугольник бицентрический. Дополнительно можно вычислить площадь $\Delta =\sqrt{{\Delta }^2}$ и радиус вписанной окружности
$$r=\frac{\Delta }{s}.$$
Замечание: для заданных только длинами сторон существование циклического четырёхугольника не всегда гарантировано, поэтому проверка шага 1 важна, если цикличность не дано отдельно.