Коротко: под «центром прямой» возьмём середину отрезка её пересечения с окружностью (середина хорды). Обозначим центр окружности $O$, радиус $R$, точку вне окружности $P$ ($|OP|>R$). Пусть прямая через $P$ пересекает окружность в $A,B$, $M$ — середина хорды $AB$. Требуем, чтобы прямая пересекала окружность под углом $45^{\circ }$ (т.е. угол между прямой и касательной в точке пересечения равен $45^{\circ }$).
Синтетическое рассуждение (кратко):
- В точке $A$ касательная перпендикулярна $OA$; если прямая делает с касательной угол $45^{\circ }$, то она делает с радиусом $OA$ угол $45^{\circ }$. Следовательно расстояние от $O$ до этой прямой равно $OA\sin 45^{\circ }=R\sin 45^{\circ }=R/\sqrt{2}$. Но это как раз $OM$ (перпендикуляр от $O$ на хорду проходит через её середину). Значит
$$OM=\frac{R}{\sqrt{2}}.$$ - Треугольник $OPM$ прямоугольный на высоте? Нет, но из теоремы Пифагора для отрезка $OM$ как проекции имеем
$$P{M}^2=O{P}^2-O{M}^2=O{P}^2-\frac{R^2}{2},$$ откуда $PM=\sqrt{O{P}^2-\frac{R^2}{2}}$ (константа).
Вывод (синтетически): искомые середины $M$ — точки пересечения двух окружностей: окружности с центром $O$ и радиусом $\frac{R}{\sqrt{2}}$ и окружности с центром $P$ и радиусом $\sqrt{O{P}^2-\frac{R^2}{2}}$. В общем положении эти окружности пересекаются в двух точках (вырождено — одна точка при касании, нет решений при несовместности радиусов).
Аналитически (в координатах): пусть $O=(0,0)$, $P=(x_P,y_P)$. Искомое множество задаётся системой
$$x^2+y^2=\frac{R^2}{2},(x-x_P{)}^2+(y-y_P{)}^2=O{P}^2-\frac{R^2}{2}.$$ Это эквидистанты: эквивалентно пересечению двух окружностей, описанных выше.
Итог: геометрическое место — пересечение двух окружностей
$$S(O,\frac{R}{\sqrt{2}})\cap S(P,\sqrt{O{P}^2-\frac{R^2}{2}}),$$ обычно дающее два центра (один при касании, отсутствует при несовместности).