Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде), и каждая медиана делится этой точкой в отношении $2:1$ от вершины к середине стороны.
1) Классическое (синтетическое) доказательство — методом масс (эквивалентно аргументу по равенству площадей).
Пусть в треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$, $P$ — середины сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Присвоим вершинам массы так, чтобы середины были центрами тяжести соответствующих сторон. Положим массы в точках $B$ и $C$ равными: ${\mu }_B={\mu }_C=1$. Тогда точка $M$ (середина $BC$) имеет суммарную массу ${\mu }_M={\mu }_B+{\mu }_C=2$. Поскольку $N$ — середина $AC$, из ${\mu }_C=1$ следует ${\mu }_A=1$. Таким образом ${\mu }_A={\mu }_B={\mu }_C=1$.
Рассмотрим медиану $AM$. В терминах масс отношение отрезков на этой медиане обратно пропорционально массам в концах:
$$\frac{AG}{GM}=\frac{{\mu }_M}{{\mu }_A}=\frac{2}{1}=2,$$ то есть $AG:GM=2:1$. Аналогично для других медиан. Значит все три медианы пересекаются в одной точке $G$ и делятся ею в отношении $2:1$.
(Замечание: тот же вывод можно получить через равенство площадей шести малых треугольников, образованных медианами; по равенству баз и высот получается равенство площадей и затем отношение отрезков.)
2) Координатное доказательство.
Пусть $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$, $C(x_3,y_3)$. Тогда середина $M$ стороны $BC$ имеет координаты
$$M(\frac{x_2+x_3}{2},\frac{y_2+y_3}{2}).$$ Точка пересечения медиан (показано ниже) — центроид $G$ с координатами среднего арифметического вершин:
$$G(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}).$$ Проверим, что $G$ лежит на медиане $AM$ и делит её в отношении $2:1$. Параметрическое представление точки на отрезке $AM$:
$$(1-t)A+tM=((1-t)x_1+t\frac{x_2+x_3}{2},(1-t)y_1+t\frac{y_2+y_3}{2}).$$ При $t=\frac{2}{3}$ получаем
$$(1-\frac{2}{3})A+\frac{2}{3}M=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}M=(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3})=G,$$ то есть $G$ — точка на $AM$ с $AG=\frac{2}{3}AM$, значит $AG:GM=2:1$. Аналогично для остальных медиан, что доказывает их пересечение в одной точке.
3) Сравнение подходов
- Простота: синтетическое (масс‑точки/площади) обычно короче и требует меньше алгебры; координатное — механическое, немного громоздкое, но прямолинейное.
- Наглядность: синтетическое более геометрично и интуитивно (особенно доказательство через равенство площадей); координатное даёт явное выражение центроида и менее «наглядно» в чисто геометрическом смысле.
- Обобщаемость: координатный (или векторный) метод легко обобщается на более высокие размерности, на системы точек (барицентр, центр масс) и на аналитические задачи; синтетические идеи (массы, площади) тоже обобщаются, но иногда требуют больше изобретательности в сложных случаях.
Вывод: для чисто геометрического понимания и краткости лучше синтетическое доказательство; для вычислений, обобщений и алгебраической работы удобнее координатный/векторный подход.