Пусть правильный тетраэдр имеет вершины $A,B,C,D$. Рассмотрим множество точек $P$ на поверхности тетраэдра, для которых
$$PA+PB+PC=\text{const}=k.$$
Утверждение (описание места точек).
- Это множество — простая замкнутая кривая, лежащая на трёх гранях, смежных с вершиной $D$. Кривая состоит из трёх равных дуг (по одной на каждой из этих граней) и симметрична относительно вращения на $120^{\circ }$ вокруг оси, проходящей через $D$. Такая кривая называется кривой Вивьани для данного тетраэдра; в развёртке трёх граней она соответствует окружности в плоскости.
Краткое доказательство.
1) Возьмём развёртку трёх граней, смежных с $D$ (треугольники $DAB$, $DBC$, $DCA$), развернём их в плоскость вокруг точки $D$. На этой развёртке образы вершин $A,B,C$ — три точки $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$, лежащие на одинаковом расстоянии от $D$ и образующие правильный треугольник с центром в $D$. Образ произвольной точки $P$ из этих трёх граней — точка $P^{\prime }$ в плоскости, причём геодезические (по поверхности) расстояния $PA,PB,PC$ равны евклидовым расстояниям $P^{\prime }{A}^{\prime },P^{\prime }{B}^{\prime },P^{\prime }{C}^{\prime }$ в развёртке.
2) Значит условие $PA+PB+PC=k$ эквивалентно
$$P^{\prime }{A}^{\prime }+P^{\prime }{B}^{\prime }+P^{\prime }{C}^{\prime }=k,$$ то есть к задаче в плоскости: множество точек с фиксированной суммой расстояний до трёх вершин правильного треугольника $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.
3) В плоскости с центром в $D$ вершины $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$ получаются поворотами друг друга на $120^{\circ }$. Под действием поворота на $120^{\circ }$ вокруг $D$ сумма расстояний к трём вершинам инвариантна, поэтому уровень функции $F(P^{\prime })=P^{\prime }{A}^{\prime }+P^{\prime }{B}^{\prime }+P^{\prime }{C}^{\prime }$ обладает трёхкратной ротационной симметрией и даёт замкнутые симметричные контуры. Более детально можно показать (через развёртку и элементарные алгебраические преобразования), что уровни этой функции в рассматриваемом диапазоне значений являются окружностями с общим центром в $D$; для каждого допустимого $k$ соответствующая окружность в развёртке даёт на исходной поверхности три дуги, соединяющие две общие точки, образующие замкнутую кривую.
4) Переводя это обратно на тетраэдр, получаем: искомая кривая — замкнутая симметричная кривая из трёх равных дуг, каждая лежит на одной из граней $DAB,DBC,DCA$. При изменении параметра $k$ эти кривые образуют семейство вложенных подобных кривых; при граничных значениях $k$ кривая вырождается в вершины/рёбра.
Замечание. В литературе такая кривая называется кривой Вивьани; её удобнее изучать через развёртку трёх граней и редукцию к плоскому условию суммы расстояний до вершин правильного треугольника.