Короткий ответ: конструкция возможна тогда и только тогда, когда
$$h=m\cos \alpha .$$ При этом треугольников вообще бесконечно много (одномерная семью): точки A, M, H однозначно определяются, а вершины B и C — любая симметричная пара относительно M на прямой BC.
Пошаговое построение (при выполнении условия):
1. Проверка: убедитесь, что $m>0,h>0$ и $h=m\cos \alpha$. Если нет — построить треугольник невозможно.
2. Возьмите точку $A$. Постройте лучи $r_1,r_2$ из $A$, составляющие угол $\angle (r_{2}A{r}_1)=\alpha$.
3. На луче $r_1$ отложите $AH=h$ и отметьте точку $H$. На луче $r_2$ отложите $AM=m$ и отметьте точку $M$.
4. Проведите через $H$ прямую $BC$, перпендикулярную $AH$ (то есть возведите перпендикуляр к $AH$ в точке $H$). По условию в этой конструкции точка $M$ лежит на построенной прямой (проверьте на чертеже).
5. Выберите любую точку $B$ на прямой $BC$ (отличную от $M$). Постройте точку $C$ как симметричную $B$ относительно $M$ (с помощью окружностей с центром в $M$ или с помощью средней линии). Тогда $M$ — середина отрезка $BC$.
6. Треугольник $ABC$ — искомый (можно взять и другое $B$, получится другой треугольник с теми же данными).
Краткое обоснование корректности:
- В треугольнике $AMH$ по построению $AM=m,AH=h,\angle MAH=\alpha$. Для того, чтобы прямая $BC$ через $H$ была общей прямой и для точки $M$ (т.е. чтобы $M$ лежал на этой прямой и $AH\perp BC$), в треугольнике $AMH$ должно быть прямым угол при $H$. Тогда по Пифагору
$$m^2=h^2+M{H}^2,$$ а по теореме косинусов для стороны $MH$ в треугольнике при угле $\alpha$ $$M{H}^2=m^2+h^2-2mh\cos \alpha .$$ Сравнивая получаем условие $h=m\cos \alpha$. Это условие одновременно достаточное: если оно выполнено, то в треугольнике $AMH$ угол при $H$ ровно прямой, значит прямая через $H$, перпендикулярная $AH$, содержит $M$ и является линией $BC$. Остальные вершины $B,C$ получаются как симметричные относительно $M$.
Уточнения и частные случаи:
- Если $h>m$ или $\cos \alpha \ne h/m$ — решений нет.
- При $h=m$ получается $MH=0$ (точки $M$ и $H$ совпадают); прямая $BC$ проходит через эту общую точку перпендикулярно $AH$; снова бесконечно много пар $B,C$.
- В общем решением является одномерное семейство треугольников (параметр — расстояние $MB=MC$).