Постановка. Пусть для точки $P$ в плоскости задана функция суммарного расстояния до вершин треугольника $ABC$ $$f(P)=PA+PB+PC.$$ Требуется найти точки $P$ внутри треугольника, где $f$ минимальна.
Основной результат (кратко)
- Если какой‑либо угол треугольника $\ge 120^{\circ }$, минимум достигается в соответствующей вершине (например, если $\angle A\ge 120^{\circ }$, то минимум в $A$).
- Если все углы $<120^{\circ }$, существует единственная внутренняя точка, называемая точкой Ферма (Торричелли). Она характеризуется тем, что отрезки к вершинам образуют между собой углы по $120^{\circ }$.
Условие стационарности (вариационный подход)
- Для внутренней точки $P$, где $f$ дифференцируема, первая вариация даёт векторное уравнение
$$\frac{PA}{|PA|}+\frac{PB}{|PB|}+\frac{PC}{|PC|}=0.$$ - Из этого уравнения следует, что направления $PA,PB,PC$ попарно расходятся под углами $120^{\circ }$. Это и есть условие Ферма.
- Одномерно: уравнение градиента нет в вершинах (точки не дифференцируемы), что объясняет отдельный случай с углом $\ge 120^{\circ }$.
- Выпуклость: $f$ выпукла, поэтому найденный стационарный пункт — глобальный минимум; для треугольника с углами $<120^{\circ }$ он единственен.
Геометрическая конструкция (классические способы)
- Метод с равносторонними треугольниками: построить вне треугольника равносторонние треугольники на двух сторонах, например на $AB$ и $AC$; соединить вершины этих равносторонних треугольников с противоположными вершинами $C$ и $B$ соответственно; пересечение этих отрезков даёт точку Ферма.
- Метод поворота: повернуть треугольник вокруг одной вершины на $60^{\circ }$ и найти прямую, соединяющую соответствующие вершины; пересечение таких прямых — точка Ферма.
- Эти конструкции дают точное решение в случае всех углов $<120^{\circ }$. Если угол $\ge 120^{\circ }$, конструкция отсутствует — решение вершина.
Численные методы
- Алгоритм Вайсфельда (Weiszfeld) для геометрической медианы (веса равны): итерация
$$P^{(k+1)}=\frac{{\sum }_{X\in \{A,B,C\}}\frac{X}{|X-P^{(k)}|}}{{\sum }_{X\in \{A,B,C\}}\frac{1}{|X-P^{(k)}|}}.$$ Он сходится к геометрической медиане при условии, что итераты не совпадают с одной из вершин (существуют исправления для случая совпадения). Быстрый и устойчивый на практике.
- Градиентный спуск / метод Ньютона с осторожностью у негладких точек; численная минимизация $f(P)$ (множители/линейные переменные).
- Стохастические методы (симулированный отжиг, покоординатный поиск) — рабочие, но медленнее.
Сравнение подходов (кратко)
- Геометрический: даёт точное конструктивное решение при всех углах $<120^{\circ }$, нагляден; требует геометрических построений.
- Вариационный/аналитический: даёт необходимое и достаточное условие стационарности ($\sum PA/|PA|=0$), доказательство минимальности и уникальности; полезен для теории и доказательств.
- Численный: универсален (работает и для углов $\ge 120^{\circ }$), легко реализуется на компьютере (Weiszfeld — предпочтительный практический метод), даёт приближённый ответ с контролем погрешности.
Практическая инструкция
- Быстро проверить углы треугольника: если есть $\ge 120^{\circ }$ — ответ: соответствующая вершина.
- Иначе: либо построить точку Ферма геометрически, либо найти численно (инициализация, затем Weiszfeld до заданной точности).
(Все ключевые формулы выше в явной форме.)