Утверждение. В треугольнике $ABC$ медианы из вершин $B$ и $C$ равны тогда и только тогда, когда $AB=AC$ (эквивалентно $\angle B=\angle C$).
Синтетическое доказательство.
- Обозначим $M$ — середина $AC$, $N$ — середина $AB$. Медианы: $BM$ и $CN$. Пусть $BM=CN$.
- Пусть $G$ — центроид (точка пересечения медиан). Тогда $BG=\frac{2}{3}BM$ и $CG=\frac{2}{3}CN$, поэтому из $BM=CN$ следует $BG=CG$.
- Следовательно $G$ равноудалённа от $B$ и $C$, т.е. лежит на перпендикулярном биссекторе отрезка $BC$. Но $G$ лежит также на медиане $AD$ (где $D$ — середина $BC$), а перпендикулярный биссектор проходит через $D$. Значит прямая $AD$ совпадает с перпендикулярным биссектором $BC$, отсюда $AB=AC$.
- Обратное: если $AB=AC$, то треугольник симметричен относительно медианы $AD$, поэтому медианы из $B$ и $C$ равны. Это завершает синтетическое доказательство.
Координатное/аналитическое доказательство.
- Обозначения сторон: $a=BC,b=CA,c=AB$. Для медианы из вершины $B$ (к стороне $AC$) известна формула
$$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2},$$ аналогично для медианы из $C$ $$m_c=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}.$$ - Равенство $m_b=m_c$ эквивалентно
$$2a^2+2c^2-b^2=2a^2+2b^2-c^2,$$ откуда $3c^2=3b^2$, т.е.
$$b^2=c^2\Rightarrow b=c.$$ - Следовательно $AB=AC$. Обратное легко проверить теми же формулами. (Формулы медиан можно получить, например, из теоремы Стюарта или из координат: положив $B(0,0),C(a,0),A(x,y)$ и вычислив длины медиан.)
Краткие обобщения и замечания.
- Для любых двух вершин треугольника: равенство соответствующих медиан эквивалентно равенству прилегающих сторон (т.е. любые две медианы равны тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный относительно третьей вершины).
- Векторная форма: если $M$ — середина противоположной стороны, то медиана равна вектору $\frac{1}{2}(A+C)-B$ и равенство двух таких векторов по длине даёт ту же условие $AB=AC$.
- Аналогичные вопросы в пространствах большей размерности (например, отрезки от вершин симплекса к центроидам противоположных граней) ведут к более сложным условиям; в общем случае равенство «медиан» в симплексе связано с равенством второй моменты масс противоположных граней, и простого критерия «равные соответствующие противоположные ребра» может не существовать.