Пусть вершина, из которой выходит медиана, — $C$, тогда стороны, исходящие из неё, имеют длины $b=CA$ и $a=CB$, а медиана к стороне $c=AB$ равна $m_c$.
1) Необходимое условие. Из формулы Апполония для медианы
$$m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$$ получаем
$$c^2=2(a^2+b^2)-4m_c^2.$$ Аналогично, через угол $\gamma =\angle ACB$ (закон косинусов $c^2=a^2+b^2-2ab\cos \gamma$) получаем выражение для $\cos \gamma$:
$$4m_c^2=a^2+b^2+2ab\cos \gamma \Rightarrow \cos \gamma =\frac{4m_c^2-a^2-b^2}{2ab}.$$ Следовательно необходимость и достаточность существования треугольника сводится к условию
∣4mc2−a2−b22ab∣≤1. \left|\frac{4m_c^2-a^2-b^2}{2ab}\right|\le 1.
2ab4mc2 −a2−b2 ≤1. В частности $m_c$ должен лежать в диапазоне
$$\frac{|a-b|}{2}\le m_c\le \frac{a+b}{2}.$$
2) Построение (евклидово, циркулем и линейкой).
- Проверить условие существования: вычислить $s=\frac{4m_c^2-a^2-b^2}{2ab}$. Если $|s|>1$, решений нет.
- Построить угол $\gamma$ с косинусом $s$. (Можно взять произвольный отрезок как «единицу», на нём построить прямоугольный треугольник с прилежащим катетом пропорциональным $s$ и гипотенузой пропорциональной $1$; тогда соответствующий острый угол даёт нужный $\gamma$.)
- В точке $C$ построить два луча с углом $\gamma$. На одном луче отложить $CA=b$, на другом $CB=a$. Получили искомый треугольник $ABC$. (Зеркальная симметрия относительно биссектрисы через $C$ даёт конгруэнтный треугольник; потому по некоммутации выбора стороны даются лишь зеркальные варианты.)
3) Количество решений и предельные случаи.
- Если $|s|<1$, существует единственный (с точностью до зеркального отражения) невырожденный треугольник.
- Если $|s|=1$:
- при $s=1$ имеем $\gamma =0$, $m_c=(a+b)/2$ и $c=|a-b|$ — вырожденный (коллинеарный) расположение точек $A,C,B$ на одном луче;
- при $s=-1$ имеем $\gamma =\pi$, $m_c=|a-b|/2$ и $c=a+b$ — также вырожденный (коллинеарный) случай с противоположным направлением.
- Если $|s|>1$ — решений нет.
4) Обоснование корректности. Вывод формулы для $\cos \gamma$ основан на законе косинусов и формуле Апполония для медианы; значение $\cos \gamma$ полностью определяет угол $\gamma \in [0,\pi ]$, а известные из $C$ длины $a$ и $b$ и угол между ними однозначно задают треугольник (до зеркального отражения). Предельные случаи соответствуют $\gamma =0$ или $\gamma =\pi$, когда треугольник вырождается в отрезок, как указано выше.
Таким образом конструкция корректна при указанном условии на $a,b,m_c$ и даёт либо единственное (с точностью до симметрии) решение, либо в граничных случаях вырожденный треугольник, либо решений нет.