Пусть инверсия с центром в вершине $A$ задана радиусом $r_0$ (мощность $k=r_0^2$); образ точки $X\ne A$ обозначим $X^{\prime }$, где выполняется
$$AX\cdot A{X}^{\prime }=k.$$
Кратко об образах важных элементов треугольника $ABC$:
- Биссектрисы
- Биссектрисы, проходящие через $A$ (внутренняя и внешняя) — это прямые через центр инверсии, поэтому они инвариантны как множества: каждая такая биссектриса переводится в себя (точки на ней меняются по закону $AX\mapsto k/AX$).
- Биссектрисы в вершинах $B$ и $C$ (прямые, не проходящие через $A$) переходят в окружности, проходящие через $A$. Поскольку инверсия конформна, образ биссектрисы будет биссектрисой между образами соответствующих сторон (углы сохраняются по модулю).
- Медианы
- Медиана из $A$ (прямая через $A$) инвариантна как множество.
- Медианы из $B$ и $C$ (линии, не проходящие через $A$) переходят в окружности, проходящие через $A$ (каждая такая окружность проходит через образы соответствующих концов и через $A$).
- Высоты
- Высота из $A$ (линия через $A$) инвариантна как множество.
- Высоты из $B$ и $C$ переходят в окружности, проходящие через $A$. Так как инверсия сохраняет углы (величины), образ высоты остаётся кривой, ортогональной к образу соответствующей стороны.
- Основания высот
- Основания высот, лежащие на сторонах, которые проходят через $A$ (то есть основания на $AB$ и на $AC$), остаются на тех же прямых $AB$ и $AC$ (их координаты изменяются по формуле $AX\mapsto k/AX$).
- Основание высоты на стороне $BC$ (стороне, не проходящей через $A$) перейдёт в точку, лежащую на образе прямой $BC$, а именно на окружности, проходящей через $A$, являющейся образом прямой $BC$.
- Описанная окружность $\Gamma =(ABC)$ - Поскольку $\Gamma$ проходит через центр инверсии $A$, её образ — прямая: образ окружности $\Gamma$ будет прямая $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (прямая, проходящая через образы $B^{\prime }$ и $C^{\prime }$). Обратно: прямая $B^{\prime }{C}^{\prime }$ соответствует исходной описанной окружности без точки $A$.
Какие свойства сохраняются (и в каком виде)
- Конформность: инверсия сохраняет величины углов между кривыми (модуль угла), но меняет ориентацию (реверсирует знак угла).
- Отображение обобщённых окружностей: прямая ↔ окружность, прямая через $A$ ↔ сама себя; любая окружность/прямая переходит в окружность или прямую.
- Тангенциальность: состояние касания двух кривых сохраняется.
- Ортогональность: взаимная ортогональность окружностей (и прямых) сохраняется.
- Топологические свойства: инверсия является взаимно-однозначным непрерывным отображением ${\mathbb{R}}^2\setminus \{A\}\to {\mathbb{R}}^2\setminus \{A\}$, поэтому сохраняются связность, простота кривых и т.д.
Какие свойства теряются
- Евклидова метрическая структура: расстояния и площади не сохраняются; отношения длины в общем случае не сохраняются (за исключением специальных случаев на одном луче от $A$, где $AX\cdot A{X}^{\prime }=k$).
- Коллинеарность в общем случае не сохраняется: прямая, не проходящая через $A$, переходит в окружность. Исключение — прямые, проходящие через $A$, они остаются прямыми.
- Параллельность не сохраняется (параллельные прямые не через $A$ переходят в две окружности).
- Бетвинес (отношение «лежит между») в общем не сохраняется; на одном луче от $A$ порядок точек инвертируется (ближайшие к $A$ переходят в самые дальние на том же луче).
- Ориентация плоскости меняется: инверсия обращает ориентацию.
Короткие практические выводы для треугольника $ABC$ при инверсии с центром в $A$:
- стороны $AB,AC$ остаются своими прямыми; сторона $BC$ превращается в окружность через $A$;
- вершины $B,C$ переходят в $B^{\prime },C^{\prime }$ на лучах $AB,AC$ соответственно, и описанная окружность $\Gamma$ переходит в прямую $B^{\prime }{C}^{\prime }$;
- высоты и медианы из $A$ остаются прямыми через $A$; из $B,C$ превращаются в окружности через $A$;
- все угловые соотношения (величины углов), касания и ортогональности сохраняются, но длины и параллельность — нет.