Кратко — сравнение и иллюстрации на Чеве и Менелае.
Общие характеристики
- Синтетический метод:
- Сильные стороны: даёт чистое геометрическое понимание, короткие элегантные доказательства (особенно через подобие, площади, массу/опорные точки).
- Ограничения: иногда трудно формализовать или вычислить для «многословных» алгебраических условий (окружности, произвольные координаты).
- Координатный (аналитический) метод:
- Сильные стороны: универсален, хорошо подходит для вычислений, длины/углы/окружности, алгоритмизация (компьютер).
- Ограничения: часто громоздкие алгебраические выкладки; нужно грамотное размещение системы координат, иначе теряется наглядность.
- Векторный/барицентрический/массовые точки:
- Сильные стороны: удобен для всех задач, сводимых к соотношениям длин/делению отрезков и аффинным преобразованиям; компактно выражает коллинеарность/конкуренцию; легко обобщается (барицентрические координаты).
- Ограничения: менее нагляден для чисто синтетических интуиций; требует аккуратности со знаками и ориентацией, слаб в задачах, завязанных на углы без дополнительной информации.
Теорема Чева (условие конкуренции медиан/цепочек)
- Формулировка (ориентированно): точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$ секут стороны треугольника $ABC$. Лучи $AD,BE,CF$ конкурентны тогда и только тогда, когда
$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$.
Краткие доказательства разными методами
- Синтетика (площади):
- Обозначим площади треугольников через $[XYZ]$. Если $AD,BE,CF$ пересекаются в точке $O$, то, например, $\frac{BD}{DC}=\frac{[BOD]}{[DOC]}=\frac{[BOF]}{[FOC]}$ и т.д.; перемножая три подобных соотношения получаем требуемое
$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$ - Плюс: коротко и прозрачно; при целевых задачах — предпочтительный способ.
- Координаты:
- Поставим удобную систему, напр. $A(0,0),B(1,0),C(0,1)$. Пусть $F$ делит $AB$ в отношении $t:F(t,0)$, $D$ на $BC$ — $D(1-s,s)$, $E$ на $CA$ — $E(0,1-r)$. Условие конкуренции равносильно линейной зависимости уравнений прямых; после простых вычислений получаем
$\frac{t}{1-t}\cdot \frac{1-s}{s}\cdot \frac{1-r}{r}=1.$ - Плюс: прямой алгоритм, особенно когда стороны заданы координатно.
- Вектор/массы (барицентрические):
- Назначим массы $m_A,m_B,m_C$ так, чтобы разделы соответствовали: например, если $F$ делит $AB$ так, что $\frac{AF}{FB}=\frac{m_B}{m_A}$ и т.д.; тогда лучи из вершин пересекутся в центре масс, и совместимость масс даёт
$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1.$ - Плюс: очень быстрый расчёт в задачах с делениями отрезков; удобен в олимпиадной практике.
Теорема Менелая (условие коллинеарности точек на сторонах)
- Формулировка (ориентированно): точки $D\in BC,E\in CA,F\in AB$ лежат на одной прямой (трансверсали) тогда и только тогда, когда
$\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=-1$ (знак учитывает ориентирование/вхождение в продолжения сторон).
Краткие доказательства разными методами
- Синтетика (подобие треугольников/отношения отрезков):
- Традиционный синтетический вывод через подобие получит произведение ориентированных отношений, дающее $-1$. Классично коротко и геометрически прозрачно.
- Координаты:
- Параметризуем точки, например, $F=(t,0),D=(1-s,s),E=(0,1-r)$; условие коллинеарности трёх точек – детерминант нулевой (или уравнение прямой), из чего следует
$\frac{t}{1-t}\cdot \frac{1-s}{s}\cdot \frac{1-r}{r}=-1.$ - Плюс: даёт строгую алгебраическую проверку; удобен, если линия задана аналитически.
- Вектор/барицентрические:
- Через ориентированные векторы/параметризацию отрезков: на прямой можно записать параметры и исключить их, что эквивалентно тому же соотношению с знаком. В проективном/барицентрическом виде Менелай — естественное следствие проективной теории.
- Плюс: компактно и удобно в аффинно/проективных построениях.
Где что явно предпочтительнее
- Синтетика предпочтительна, когда нужна интуиция, краткость и «человеческое» понимание (классические олимпиадные доказательства, чистые теоремы о подобии/площадях).
- Вектор/барицентры/массы предпочтительны при массовых задачах про деление отрезков, при доказательствах, сводимых к системам линейных отношений, и когда нужно быстро получить числовые отношения (Ceva, масса-точки, многие задачи с медианами и биссектрисами).
- Координаты предпочтительны при работе с окружностями, углами (через скалярное произведение), общими вычислениями (длины, площади, уравнения прямых/кривых), а также при компьютерной проверке; хороши, если конфигурация не даёт простых симметрий для синтетики.
- Для Менелая и её проективных обобщений наиболее естественен проективный/проективно-координатный подход (координаты Чебышёва/барицентрические/трилейные), так как Менелай — по сути проективный результат.
Короткие рекомендации
- Если задача про отношения делений отрезков и конкуренцию — попробуйте сначала массу/барицентры (быстро).
- Если нужны точные метрические величины, окружности, углы — используйте координаты.
- Если требуется глубокое понимание структуры теоремы или короткое элегантное доказательство — синтетика.
Заключение (одно предложение)
- Эти три метода дополняют друг друга: синтетика даёт ясность, векторы/барицентры — оперативность для отношений, а координаты — универсальность и вычислительную мощь; выбор зависит от природы задачи (аффинная/проективная/метрическая) и требуемой компактности доказательства.