Кратко сформулирую и докажу основные следствия и варианты (везде $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, дана вписанность $A,B,C,D$ и $\angle AOB=90^{\circ }$).
1) Очевидные равенства по теореме косинусов (т.к. $\angle AOB=\angle COD=90^{\circ }$):
$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2,B{C}^2=B{O}^2+C{O}^2,$$ $$C{D}^2=C{O}^2+D{O}^2,D{A}^2=D{O}^2+A{O}^2.$$ Доказательство: применить теорему косинусов в треугольниках $AOB,BOC,COD,DOA$ с косинусом ноль.
2) Суммы квадратов противоположных сторон:
$$A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+D{A}^2,$$ поскольку обе суммы равны $A{O}^2+B{O}^2+C{O}^2+D{O}^2$ по пункту (1).
3) Теорема о произведениях отрезков (пересекающиеся хорды на общей окружности):
$$AO\cdot OC=BO\cdot OD.$$ Это следует из общей теоремы для вписанной окружности (для пересекающихся хорд).
4) Запись сторон через отрезки диагоналей (полезно для вычислений):
$$AB=\sqrt{A{O}^2+B{O}^2},BC=\sqrt{B{O}^2+C{O}^2},CD=\sqrt{C{O}^2+D{O}^2},DA=\sqrt{D{O}^2+A{O}^2}.$$
5) Ptolemy (вписанность) остаётся верной:
$$AC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot AD,$$ — это общая характеристика вписанных четырехугольников (не зависит от перпендикулярности диагоналей).
6) Условия на наличие вписанной окружности (инко́лата): четвероугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны:
$$AB+CD=BC+AD.$$ В терминах отрезков диагоналей это условие превращается в:
$$\sqrt{A{O}^2+B{O}^2}+\sqrt{C{O}^2+D{O}^2}=\sqrt{B{O}^2+C{O}^2}+\sqrt{D{O}^2+A{O}^2}.$$ Это дополнительное условие; перпендикулярность диагоналей сама по себе не гарантирует наличие инкруга.
7) Когда $ABCD$ — параллелограмм или прямоугольник?
- Параллелограмм ⇔ диагонали пересекаются пополам: $AO=OC$ и $BO=OD$. В сочетании с условием (3) получаем $A{O}^2=B{O}^2$, то есть $AO=BO$. Поэтому все четыре отрезка $AO,BO,CO,DO$ равны. Впавшее вместе с вкладываемостью означает, что параллелограмм будет прямоугольником с равными сторонами — т.е. квадратом. Иными словами:
$$\text{вписанный}ABCD\text{с}\angle AOB=90^{\circ }\text{и параллелограммом}⟹ABCD\text{— квадрат.}$$ Доказательство: см. выше: параллелограмм даёт $AO=OC,BO=OD$; из $AO\cdot OC=BO\cdot OD$ следует $A{O}^2=B{O}^2\Rightarrow AO=BO$, значит все четыре равны → стороны равны и углы по вписанности равны $90^{\circ }$.
- Прямоугольник как частный случай параллелограмма в вписанном случае всегда должен быть квадратом, если добавлено условие $\angle AOB=90^{\circ }$. Простая причина: вписанный параллелограмм — прямоугольник, а при дополнительной перпендикулярности диагоналей он становится квадратом (см. предыдущую строку).
8) Замечания о радиусах:
- Радиус описанной окружности $R$ определяется общими формулами для вписанного круга (через стороны и противоположные углы), но перпендикулярность диагоналей не даёт простого прямого выражения для $R$ только в терминах отрезков $AO,BO,CO,DO$ иначе, чем через координатную/тригонометрическую модель круга. Однако через стороны можно пользоваться обычной формулой для пятиугольника/треугольника (например, для треугольника $ABC$: $AB=2R\sin \angle ACB$ и т.д.).
- Для инкруга радиус $r$ существует только при условии из пункта (6); тогда его можно выразить через полупериметр и площадь: $r=\frac{S}{s}$ (где $s$ — полупериметр).
9) Примеры.
- Пример 1 (классический): квадрат — все свойства выполняются. Пусть квадрат со стороной $1$. Тогда диагонали перпендикулярны, $AO=BO=CO=DO=\frac{\sqrt{2}}{2}$, стороны $=1$, равенства из пунктов (1)-(5) выполняются.
- Пример 2 (числовой несимметричный, существующий): возьмём положительные числа
$$AO=1,BO=2,CO=3,DO=1.5,$$ тогда $AO\cdot CO=1\cdot 3=3$ и $BO\cdot DO=2\cdot 1.5=3$ — условие (3) выполнено, значит существуют на окружности четыре точки с такими отрезками диагоналей. Стороны:
$$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5},BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},$$ $$CD=\sqrt{3^2+1.5^2}=\sqrt{11.25},DA=\sqrt{1^2+1.5^2}=\sqrt{3.25}.$$ Проверка равенства из пункта (2): $A{B}^2+C{D}^2=5+11.25=16.25$, $B{C}^2+D{A}^2=13+3.25=16.25$. Этот четырёхугольник вписан, диагонали пересекаются под прямым углом, но он не является параллелограммом и не имеет вписанной окружности (проверяется по суммам сторон).
Итоговые ключевые зависимости (компактно):
$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2,B{C}^2=B{O}^2+C{O}^2,C{D}^2=C{O}^2+D{O}^2,D{A}^2=D{O}^2+A{O}^2,$$ $$A{B}^2+C{D}^2=B{C}^2+D{A}^2,AO\cdot OC=BO\cdot OD.$$ Дополнительные условия:
- Для инкруга: $AB+CD=BC+AD$.
- Для параллелограмма: $AO=OC$ и $BO=OD$ ⇒ вместе с $AO\cdot OC=BO\cdot OD$ даёт квадрат.
- Для прямоугольника в данной ситуации требуется то же самое ⇒ квадрат.