Кратко и по сути — история, формулировки и следствия.
1) Краткая историческая справка
- Евклид (≈III в. до н.э.) ввёл пятый постулат в своей «Началах» в словесной форме; многие пытались вывести его из остальных аксиом (Саккери, Ламберт и др.).
- В XIX в. Плейфер (Playfair) дал более короткую формулировку, часто использующуюся в аксиоматике.
- Лобачевский и Больяи независимо построили систему геометрии, в которой пятый постулат отрицался; Лобачевский ввёл понятие «угла параллельности» и показал непротиворечивость альтернативы.
2) Формулировки и их смысл (коротко)
- Евклид (оригинал): «Если прямая, пересекающая две прямые, образует с ними внутренние углы по одну сторону в сумме меньшие двух прямых, то эти две прямые, продолженные неограниченно, пересекутся по той стороне.» — условие пересечения через сумму углов < $\pi$.
- Плейфер (Playfair): «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, не пересекающая данную.» — однозначность параллели. (Эквивалентна п.5 при прочих аксиомах.)
- Лобачевский: формулировал отрицание: через точку вне прямой проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную; он вводил функцию угла параллельности $\Pi (d)$ (где $d$ — расстояние от точки до прямой), показывая, что «параллели» зависят от расстояния и их бесконечно много между двумя предельными. Например, для постоянной кривизны $-1/R^2$ $$\Pi (d)=2\arctan \left(e^{-d/R}\right).$$
3) Сопоставление по геометрическим следствиям
- Параллели:
- Евклид / Плейфер: ровно одна параллель через внешнюю точку.
- Лобачевский (гиперболическая): через внешнюю точку проходит более одной (фактически бесконечно много) прямых, не пересекающих данную; есть две предельные (асимптотические) и множество проходящих между ними.
- Сфера (сферическая геометрия, «отрицание» гиперболической альтернативы): параллелей нет — любые геодезические (великие круги) пересекаются.
- Сумма углов треугольника:
- Евклид: $\alpha +\beta +\gamma =\pi$.
- Гиперболическая: $\alpha +\beta +\gamma <\pi$; дефицит $\delta =\pi -(\alpha +\beta +\gamma )>0$ связан с площадью. Для постоянной кривизны $-1/R^2$ $$\text{Area}=R^2\delta =R^2(\pi -(\alpha +\beta +\gamma )).$$ - Сферическая (радиус $R$): $\alpha +\beta +\gamma >\pi$; избыток $E=\alpha +\beta +\gamma -\pi$ даёт
$$\text{Area}=R^{2}E=R^2(\alpha +\beta +\gamma -\pi ).$$
- Подобие и масштабирование:
- Евклид: существуют подобные, но неодинаковые треугольники (масштабируемость).
- Гиперболическая/сферическая: геометрия имеет естественный масштаб $R$ (радиус кривизны), поэтому нет произвольной подобности: равные углы обычно фиксируют и размеры (подобие ≈ конгруэнтность при постоянной кривизне).
- Теоремы типа Пифагора и косинусов: меняются — в гиперболической и сферической существуют аналоги с гиперболическими/тригонометрическими функциями (например, гиперболический закон косинусов):
$$\cosh \frac{c}{R}=\cosh \frac{a}{R}\cosh \frac{b}{R}-\sinh \frac{a}{R}\sinh \frac{b}{R}\cos \gamma .$$
4) Конкретные примеры, показывающие разницу
- Сферическая: возьмём земной шар радиуса $R$. Треугольник, заданный пересечением трёх больших кругов: меридиана 0°, меридиана 90° и широты 0° в Северном полушарии с вершинами в Северном полюсе и двух точках на экваторе, может иметь три прямых угла: $\alpha =\beta =\gamma =\pi /2$. Сумма = $3\pi /2$, избыток $E=\pi /2$, область = $R^2\pi /2$. Здесь параллелей нет: любые два великих круга (геодезики) пересекаются.
- Гиперболическая: в модели Пуанкаре (диск) геодезические — окружности, ортогональные границе диска; через точку вне данной прямой можно провести множество дуг, не пересекающих заданную — почти все между двумя предельными. Для треугольника с большими сторонами углы могут быть очень малы, суммарный угол стремится к 0 при росте сторон; площадь растёт и равна $R^2$ на дефицит, см. формулу выше. Углы и расстояния связаны функцией $\Pi (d)=2\arctan (e^{-d/R})$: чем дальше точка от прямой, тем меньше угол «параллельности».
5) Заключение (кратко)
- Плейферская формулировка эквивалентна евклидовой пятой при прочих аксиомах; Лобачевский ввёл её отрицание и показал, что из него вытекает целая непротиворечивая геометрия (гиперболическая).
- Изменение пятого постулата меняет глобальные свойства: число параллелей, сумму углов треугольника, формулы площади и отсутствие/наличие произвольной подобия — наглядно проявляющиеся в примерах сферической и гиперболической геометрий.