Коротко: центральный факт и ответ для всех трёх случаев.
1) Основной факт (доказательство синтетически и координатно)
- Синтетически. Пусть окружность с центром $O$ и радиусом $r$ пересекает две пересекающиеся прямые $l_1,l_2$ под одним и тем же углом $\phi$. Пусть $d_i=\mathrm{dist}(O,l_i)$. В точке пересечения окружности и прямой косая к окружности перпендикулярна радиусу, поэтому $\cos \phi =d_i/r$. Из равенства углов для двух прямых получаем $d_1=d_2$, значит $O$ лежит на биссектрисах угла между $l_1$ и $l_2$ (внутренней или внешней). Обратно: если $O$ на биссектрисе, то $d_1=d_2=d$ и для окружности с радиусом $r=OP$ угол пересечения с обеими прямыми будет одинаковым ($\cos \phi =d/r$).
- Координатно. Ввести систему, где $l_1,l_2$ симметричны относительно оси $x$. Для центра $O=(x_0,y_0)$ расстояния до прямых равны равенством приведут к уравнению биссектрисы. Для отношения углов выводится формула $\cos \phi =d/r$ (см. выведение в тексте), откуда сразу $d_1=d_2$.
Итак: необходимость и достаточность — центр должен лежать на одной из двух биссектрис и дополнительно окружность должна фактически пересекать прямые, т.е. должно выполняться
$$OP\ge d=\mathrm{dist}(O,l_1)=\mathrm{dist}(O,l_2).$$
2) Геометрическое место центров (общая формулировка)
- Множество всех возможных центров — это те точки $O$, лежащие на одной из двух биссектрис угла между $l_1$ и $l_2$, для которых выполняется $OP\ge d(O)$. (Если $OP=d$, окружность проходит через $P$ и касается (касание) прямых; если $OP>d$, окружность реально пересекает прямые под одинаковым углом.)
3) Разбор трёх частных положений точки $P$
a) P — точка пересечения $A$ прямых.
- Результат: геометр. место центров = обе биссектрисы (включая все точки на них, кроме $A$ — в $A$ радиус нулевой).
- Обоснование: для $O$ на биссектрисе очевидно $OA=r$ даёт окружность через $A$, и $d_1=d_2$ гарантирует равные углы; не требуется никаких дополнительных ограничений, т.к. $OA\ge d$ всегда выполняется (см. координатный расчёт ниже).
b) P лежит на одной из прямых (скажем $P\in l_1$, $P\ne A$).
- Результат: геометр. место центров = обе биссектрисы (всюду).
- Обоснование (координатно коротко): в системе, где биссектриса — ось $x$, положим $P=(p,0)$, точка на оси биссектрисы $O=(t,0)$ даёт
$$O{P}^2-d^2=(t\cos \alpha -p{)}^2\ge 0,$$ поэтому всегда $OP\ge d$. Значит каждая точка биссектрисы даёт допустимый центр.
c) P вне обеих прямых (общий случай).
- Результат: центры — те точки на биссектрисах, для которых $OP\ge d(O)$. На каждой биссектрисе это некая (в общем случае) совокупность двух лучей: если уравнение превращается в квадратичное неравенство по параметру вдоль биссектрисы, то либо неравенство верно для всей биссектрисы (если дискриминант отрицателен), либо выполняется вне некоторого отрезка между двух точек на биссектрисе, который нужно исключить. Иначе говоря: либо вся биссектриса, либо биссектриса без внутреннего отрезка (в зависимости от положения $P$).
- Как явный координатный критерий. Пусть биссектриса — ось $x$, угол между прямыми $2\alpha$, $P=(x_p,y_p)$, точка на биссектрисе $O=(t,0)$. Тогда
$$O{P}^2-d^2=t^2{\cos }^2\alpha -2x_{p}t+x_p^2+y_p^2.$$ Требуется $O{P}^2-d^2\ge 0$. Это квадратичное неравенство относительно $t$. Если дискриминант
$\Delta =4(x_p^2-{\cos }^2\alpha (x_p^2+y_p^2))\le 0$,
то неравенство выполняется для всех $t$ (вся биссектриса годится). Если $\Delta >0$, то существуют два корня $t_1<t_2$ и точки биссектрисы с $t\in (t_1,t_2)$ надо исключить (там $OP<d$), а точки с $t\le t_1$ или $t\ge t_2$ — допустимы.
Синтетическая интерпретация границы: уравнение границы $OP=d$ означает, что центр $O$ — центр окружности, проходящей через $P$ и касающейся прямой $l_1$ (или $l_2$); множество таких $O$ — парабола (фокус $P$, директриса — соответствующая прямая). Пересечение этой параболы с биссектрисой даёт граничные точки $t_1,t_2$; внутри отрезка между ними $OP<d$ (недопустимо), снаружи — допустимо.
4) Краткая инструкция для построения (с инструментами)
- Постройте две биссектрисы угла между $l_1$ и $l_2$.
- На каждой биссектрисе решите уравнение $OP=d$. Его решения — пересечения биссектрисы с параболой с фокусом $P$ и директрисой $l_1$ (равно $l_2$). Если такие пересечения есть, отрежьте полученный отрезок между ними; допустимая часть биссектрисы — вне этого отрезка. Если пересечений нет — вся биссектриса допустима.
- Частные упрощения: если $P$ — вершина угла или лежит на одной из прямых, границы не появляются и весь набор биссектрис годится (кроме самой вершины $A$).
Итоговое краткое заключение: геометр. место центров — обе (внутренняя и внешняя) биссектрисы угла между заданными прямыми; при $P$ вне обеих прямых на каждой биссектрисе дополнительно требуется $OP\ge \mathrm{dist}(O,l_i)$, что даёт либо всю биссектрису, либо биссектрису за вычетом некоторого внутреннего отрезка (границы находятся через условие $OP=d$, эквивалентное пересечению с параболой фокус–директриса).