Коротко сформулирую обобщение «эйлеровой прямой» для тетраэдра (и вообще n‑симплекса), перечислю, какие центры гарантированно лежат на одной прямой, приведу примеры и контрпримы, и дам краткие доказательства (векторный язык).
Определения (обозначения). Пусть вершины тетраэдра заданы вектор‑координатами $a_1,a_2,a_3,a_4\in {\mathbb{R}}^3$. Обозначения:
- центроид (центр тяжести) $G=\frac{1}{4}\sum _{i=1}^4{a}_i$;
- центроид n‑симплекса в общем случае $G=\frac{1}{n+1}\sum a_i$;
- центр описанной сферы (circumcenter) $O$ — точка, удовлетворяющая $|O-a_i|=$ const для всех $i$;
- центры описанных окружностей граней — для каждой грани (треугольника) её циркумцентр $O_i$;
- центр вписанной сферы $I$ (insphere center) — точка, равноудалённая от всех плоскостей граней;
- Monge‑точка $M$ (обобщение ортoцентра для n‑симплекса) — точка, определяемая ниже алгебраически/геометрически.
1) Главная теорема (обобщённая «Эйлерова прямая» для n‑симплекса)
Для произвольного n‑симплекса (в частности, для тетраэдра, где $n=3$) существует точка $M$ (Monge‑точка), такая что точки $O,G,M$ лежат на одной прямой и выполнено соотношение
$$M=(n+1)G-nO,\text{то есть}M-G=n(G-O).$$ Следовательно для тетраэдра ($n=3$)
$$M=4G-3O,GM=3\cdot OG.$$
Краткое доказательство (векторный метод, план доказательства). Для всех пар вершин $a_i,a_j$ для центра описанной сферы $O$ имеем (вычитая равенства радиусов)
$$O\cdot (a_i-a_j)=\frac{1}{2}(|a_i{|}^2-|a_j{|}^2).\text{\hspace{1em}(1)}$$ Аналогичная формула выполняется для циркумцентра любой грани (цикумцентра грани, не содержащей $a_i$), когда в правой части стоят квадраты модулей тех вершин, которые принадлежат грани. Из (1) легко проверяется, что вектор $O-O_i$ перпендикулярен грани $i$ (т.е. разность двух циркумцентров даёт перпендикуляр к соответствующей грани). Теперь положим
$$M=(n+1)G-nO.$$ Подставляя и используя (1) и линейные комбинации таких равенств, получают для каждой грани $i$ и любых двух вершин $a_j,a_k$ той грани
$$(M-O_i)\cdot (a_j-a_k)=0,$$ то есть вектор $M-O_i$ перпендикулярен каждой грани $i$. Отсюда видно, что все такие перпендикуляры к граням, проходящие через соответствующие циркумцентры граней, пересекаются в одной точке $M$. Это даёт существование Monge‑точки и одновременно доказывает коллинеарность $O,G,M$ с указанным коэффициентом. (Тот же аргумент работает в любой размерности n.)
2) Геометрический смысл Monge‑точки в случае тетраэдра
- Monge‑точка — точка пересечения шести (в общем случае $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{2}\right)$) «средних» перпендикулярных плоскостей/линий, связанных с парами противоположных элементов. Для треугольника (n=2) Monge‑точка совпадает с ортoцентром; для тетраэдра Monge‑точка обычно не совпадает с «ортoцентром» (альтитуды не всегда пересекаются), но в особых случаях (ортoцентральный тетраэдр, см. ниже) совпадает с точкой пересечения высот.
- Формула $M=4G-3O$ даёт простой способ найти Monge‑точку через $O$ и $G$.
3) Какие центры гарантированно лежат на «эйлеровой» прямой тетраэдра?
- Обязательно: $O,G,M$ лежат на одной прямой, причём $GM=3OG$ (см. выше).
- Для правильного (регулярного) тетраэдра все стандартные центры совпадают: $O=G=I=$ центры окружностей граней и т.д. — тривиальный случай коллинеарности.
- В ортoцентральном тетраэдре (определение: (эквивалентно) каждая пара противоположных рёбер перпендикулярна — тогда высоты пересекаются в одной точке $H$) Monge‑точка совпадает с ортoцентром $H$; следовательно $O,G,H$ коллинеарны с тем же отношением. (Это стандартный частный случай; регулярный тетраэдр — частный случай ортoцентрального.)
4) Какие центры, вообще, не обязаны лежать на этой прямой (контрпримеры)
- Центр вписанной сферы $I$ в общем положении не лежит на прямой $OG$ и не обязано совпадать с $M$. Для «случайного» тетраэдра условие «$I$ на $OG$» даёт несколько уравнений со строгими симметриями, поэтому это происходит лишь в специальных симметричных случаях (например, в правильном тетраэдре или в некоторых «изосцелях», см. ниже).
- Циркумцентры граней $O_i$, центры инциркулей граней, центры вписанных окружностей граней и т.п. в общем положении не выстраиваются автоматически на линии $OGM$. Можно легко привести конкретный численный пример (произвольный «несимметричный» тетраэдр) — для него вычисление покажет, что эти центры не коллинеарны с $O,G$. (Так как пространство параметров тетраэдра имеет 6 степеней свободы, дополнительные коллинеарности — редки и требуют симметрий.)
Примеры
- Регулярный тетраэдр: все центры совпадают. (Пример: вершины уравномерно расположены, например $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$; здесь $O=G=I$.)
- Ортoцентральный тетраэдр: вершины $a_1,a_2,a_3,a_4$ можно выбрать так, чтобы противоположные рёбра попарно перпендикулярны; тогда высоты пересекаются в $H$ и $H=M$, и $O,G,H$ коллинеарны с $GH=3OG$.
- «Общий» нессимметричный тетраэдр (например, вершины $(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,3)$) — для него прямой $OG$ можно найти по формулам, и явная проверка (численным вычислением $I$, $O_i$ и т.д.) покажет, что эти точки обычно не лежат на $OG$.
Замечания и критерии коллинеарности для других центров
- Условие «центр вписанной сферы $I$ лежит на $OG$» даёт систему уравнений, эквивалентную определённым симметриям граней (например, часто возникает при «изосцелях» — когда все ребра, исходящие из некоторой вершины, попарно равны, или при более сильных условиях). Конкретная форма критерия выражается через равенства углов и расстояний от $I$ до плоскостей граней и выражается в алгебраических уравнениях на координаты вершин.
- Аналогично, требование «циркумцентр какой‑то грани лежит на $OG$» приводит к линейным/квадратичным уравнениям на координаты вершин; в общем они не выполняются.
Выводы (сжатые)
- Существует естественная „эйлерова прямая“ тетраэдра — прямая $OG$ расширяемая до трёхточечной композиции $O$ — $G$ — $M$, где $M=4G-3O$ (Monge‑точка) и $GM=3OG$.
- В общем положении только эти три центра гарантированно лежат на одной прямой; остальные центры (инцентр, центры окружностей граней и т.п.) попадают на эту прямую только при дополнительных симметрических условиях (правильный тетраэдр, ортoцентральный, специальные «изосцели» и т.д.).
- Все соответствующие утверждения удобно доказываются векторно (линейными уравнениями для центров как решений систем равенств расстояний), а формула $M=(n+1)G-nO$ — универсальна для n‑симплекса.
Если нужно, могу:
- привести полное пошаговое векторное доказательство для случая $n=3$ с развёрнутыми алгебраическими выкладками;
- привести конкретный численный контрпример (координаты точек и численные проверки расположения $I,O_i$ относительно прямой $OG$);
- или расписать критерий (с уравнениями) для того, чтобы $I$ или конкретный $O_i$ лежали на $OG$.