Теорема (необходимое и достаточное условие). Пусть заданы положительные числа $m_a,m_b,m_c$. Они являются длинами трёх медиан некоторого невырожденного треугольника тогда и только тогда, когда они сами удовлетворяют неравенствам треугольника
$$m_a<m_b+m_c,m_b<m_c+m_a,m_c<m_a+m_b.$$
Доказательство (кратко).
1) Необходимость. В треугольнике медианы пересекаются в центре тяжести $G$ и отрезки $GA,GB,GC$ равны $\frac{2}{3}{m}_a,\frac{2}{3}{m}_b,\frac{2}{3}{m}_c$ соответственно и удовлетворяют векторному тождеству
$$GA+GB+GC=0.$$ Из этого для длин векторов следует неравенство треугольника, например
$$\frac{2}{3}{m}_a=|GA|\le |GB|+|GC|=\frac{2}{3}(m_b+m_c),$$ откуда $m_a\le m_b+m_c$; для невырожденного треугольника строгие неравенства.
2) Достаточность. Введём квадраты медиан $M_a=m_a^2,M_b=m_b^2,M_c=m_c^2$ и квадраты сторон $x=a^2,y=b^2,z=c^2$. По формулам Апполония имеем систему
$$4M_a=2y+2z-x,4M_b=2z+2x-y,4M_c=2x+2y-z.$$ Решая линейную систему получаем явные выражения
$$\begin{array}{rl}{a}^2& =x=\frac{4}{9}(-M_a+2M_b+2M_c)=\frac{4}{9}(-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2),\\ b^2& =y=\frac{4}{9}(2M_a-M_b+2M_c)=\frac{4}{9}(2m_a^2-m_b^2+2m_c^2),\\ c^2& =z=\frac{4}{9}(2M_a+2M_b-M_c)=\frac{4}{9}(2m_a^2+2m_b^2-m_c^2).\end{array}$$ Если $m_a,m_b,m_c$ удовлетворяют неравенствам треугольника, то, например, из $m_a<m_b+m_c$ следует
$$m_a^2<(m_b+m_c{)}^2=m_b^2+m_c^2+2m_b{m}_c\le 2m_b^2+2m_c^2,$$ и поэтому $-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2>0$. Аналогично положительны остальные числители, значит $a^2,b^2,c^2>0$ и определены положительные $a,b,c$. Построив треугольник со сторонами $a,b,c$, по обратной стороне формул Апполония его медианы будут равны исходным $m_a,m_b,m_c$. Линейная система единственна, значит треугольник с такими медианами единственен с точностью до перемещений и поворотов.
Конструкция циркулем и линейкой (шаги).
1. Имея отрезки длины $m_a,m_b,m_c$, постройте квадраты этих отрезков (технически — умножение отрезка на себя геометрически) и выполните суммы/вычитания, чтобы получить числа
$$S_a=-m_a^2+2m_b^2+2m_c^2,S_b=2m_a^2-m_b^2+2m_c^2,S_c=2m_a^2+2m_b^2-m_c^2.$$ (Все эти операции выполняем стандартными способами с циркулем и линейкой: копирование отрезков, сложение, вычитание, построение произведений и делений через подобие; извлечение квадратного корня — через построение прямоугольного треугольника и подобие.)
2. Так как по условию $m$-ы удовлетворяют неравенствам треугольника, полученные $S_a,S_b,S_c$ положительны. Постройте отрезки
$$a=\frac{2}{3}\sqrt{S_a},b=\frac{2}{3}\sqrt{S_b},c=\frac{2}{3}\sqrt{S_c},$$ то есть извлеките корни и умножьте на $\frac{2}{3}$ (гомотетия и операции подобия).
3. Постройте треугольник со сторонами $a,b,c$ обычным образом; его медианы по аппроксимации будут равны исходным $m_a,m_b,m_c$ (строго: по выводу из формул Апполония).
Замечания.
- Неравенства треугольника для медиан являются и достаточным, и необходимым условием. Выражения через квадраты даются формулами выше и показывают единственность решения.
- Для выведения и построения можно оперировать напрямую с квадратами длин и извлечением корней — все эти операции реализуемы циркулем и линейкой.