Кратко обозначения и утверждения. Пусть в треугольнике $ABC$ - $G$ — точка пересечения медиан (центроид),
- $I$ — точка пересечения внутренних биссектрис (инцентер),
- $H$ — точка пересечения высот (ортoцентр).
1) Где лежат эти точки (общие факты)
- Центроид $G$ всегда лежит внутри треугольника (точка пересечения медиан; каждая медиана делится $G$ в отношении $2:1$ от вершины к основанию).
Формально $OG=\frac{1}{3}(OA+OB+OC)$, откуда $G$ — внутренняя выпуклая комбинация вершин.
- Инцентер $I$ всегда внутри (пересечение внутренних биссектрис).
- Ортoцентр $H$:
- внутри $\iff$ треугольник остроугольный;
- на вершине $\iff$ прямой треугольник (ортoцентр — вершина прямого угла);
- вне $\iff$ треугольник тупоугольный.
2) Совпадения центров
- Если $G=I$ (центроид совпадает с инцентром), то медианы из каждой вершины лежат на соответствующих биссектрисах, т.е. каждая медиана — биссектриса, следовательно по двум равенствам сторон получаем $AB=BC=CA$. Значит треугольник равносторонний.
- Аналогично $G=H$ или $I=H$ влечёт равносторонность.
- Следовательно: любые два из трёх центров совпадают только в случае равностороннего треугольника; в этом же и все три совпадают одновременно.
Короткое доказательство для $I=H$: если, скажем, биссектриса из $A$ совпадает с высотой, то в треугольниках $ABD$ и $ACD$ (где $D$ — основание перпендикуляра/биссектрисы) углы при $D$ равны $90^{\circ }$, углы при $A$ равны пополам той же величины, значит треугольники равны и $AB=AC$. Повторяя для других вершин получаем равносторонность.
3) Коллинеарность и порядок точек
- Известная Euler‑теорема: $O,G,H$ (окружность, центроид, ортoцентр) коллинеарны (оси Эйлера), причем
$$OH=3OG,$$ т.е. порядок вдоль прямой $O$ — $G$ — $H$ и $GH=2\cdot OG$.
- Инцентер $I$ обычно не лежит на этой прямой, но бывают случаи:
- Если треугольник равнобедренный, то ось симметрии содержит медиану, биссектрису и высоту из вершины — значит $O,G,H,I$ все лежат на оси симметрии (коллинеарны). В равнобедренном (но не равностороннем) треугольнике эти точки различны.
- Существуют также несимметричные (скалярные) треугольники, для которых $I$ попадает на прямую $OH$ (семейство таких треугольников бесконечно). Поэтому возможна коллинеарность трёх точек $G,I,H$ и в неравнобедренном случае.
- В типичном общем (скалярном) треугольнике $G,I,H$ неколлинеарны.
4) Возможные конфигурации (обобщённая классификация)
- Все три совпадают $\iff$ равносторонний треугольник.
- Ни одно совпадение (обычная ситуация): $G$ и $I$ внутри всегда; $H$ — внутри/на/снаружи по остроте треугольника. Точки могут лежать в произвольном порядке, кроме запрещённых совпадений.
- Три точки коллинеарны:
- всегда для любого равнобедренного треугольника (ось симметрии),
- иногда (особые скалярные треугольники) — если инцентер попадает на ось Эйлера.
- Для острых треугольников все три лежат внутри, для прямых $H$ — в вершине, для тупых $H$ — вне, $G,I$ остаются внутри.
5) Примеры крайних случаев (координаты)
- Равносторонний (все совпадают): $A=(0,0),B=(1,0),C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Тогда $G=I=H=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{6})$.
- Прямой треугольник: $A=(0,0),B=(1,0),C=(0,1)$. Тогда $H=A=(0,0)$, $G=(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, $I=(r,r)$ где $r=\frac{1}{1+\sqrt{2}}$ (координаты инцентра можно вычислить по формулам).
- Равнобедренный острый: $A=(0,2),B=(-1,0),C=(1,0)$. Ось симметрии $x=0$ содержит $I,G,H$, причём они различны (коллинеарный, но не совпадающий случай).
- Тупой пример (ортoцентр вне): $A=(0,0),B=(3,0),C=(1,0.2)$ — очень «плоский» треугольник, $H$ будет вне, $G,I$ внутри.
Итого — все взаимные положения сводятся к перечисленным типам: (i) полное совпадение только в равностороннем треугольнике; (ii) коллинеарность гарантирована для равнобедренных треугольников и возможна в особых скалярных; (iii) в общем положении точки различны и неколлинеарны; (iv) ортоцентр может быть внутри/на/снаружи в зависимости от остроты треугольника, остальные два центра всегда внутри.