Утверждение. Пусть в окружности радиуса $R$ хорд $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$ внутри круга. Тогда
$$AP\cdot PB=CP\cdot PD.$$ Если точка $P$ фиксирована, то для любой хорды $XY$, проходящей через $P$, произведение расстояний от $P$ до концов хорды постоянно и равно
$$PX\cdot PY=R^2-O{P}^2,$$ где $O$ — центр окружности. Следовательно, при движении точек $A,B,C,D$ по окружности (при сохранении пересечения в одной и той же точке $P$) произведения $AP\cdot PB$ и $CP\cdot PD$ остаются равными и постоянны.
Короткое доказательство равенства через подобие. Рассмотрим две треугольные пары, образованные хордами и лучами от $P$. Из свойства вписанных углов следует, что два угла в треугольниках, соответствующих вершинам на окружности и перехватывающие одну и ту же дугу, равны; вместе с вертикальными (вершинными) углами это даёт по две равные угла в соответствующих треугольниках. В результате получается подобие треугольников, дающее соотношение сторон
$$\frac{AP}{PD}=\frac{CP}{PB},$$ откуда перемножением получаем
$$AP\cdot PB=CP\cdot PD.$$
Доказательство формулы для константы. Пусть через $P$ проходит хорда $XY$, $M$ — середина этой хорды. Тогда $OM\perp XY$, обозначим $PM=s$, $XM=m$. Тогда
$$PX\cdot PY=(m+s)(m-s)=m^2-s^2.$$ Из прямоугольного треугольника $OMX$: $m^2=R^2-O{M}^2$. Из прямоугольного треугольника $OMP$: $s^2=O{P}^2-O{M}^2$. Подставляя,
$$PX\cdot PY=(R^2-O{M}^2)-(O{P}^2-O{M}^2)=R^2-O{P}^2.$$
Следствия о движении точек. Для фиксированной точки $P$ значение $AP\cdot PB$ не зависит от того, какие конкретно точки $A,B$ на окружности выбраны (лишь требуется, чтобы $AB$ проходила через $P$). При движении концов хорды по окружности их расстояния $AP$ и $PB$ меняются взаимно: если один множитель уменьшается, другой увеличивается так, чтобы произведение оставалось равным $R^2-O{P}^2$. Если $P$ перемещается внутри круга, то значение $R^2-O{P}^2$ меняется непрерывно; при приближении $P$ к окружности произведение стремится к нулю.