Ключевая замечание: условие «суммы противоположных углов равны $180^{\circ }$» эквивалентно тому, что все четыре вершины лежат на одной окружности (чётко для простого и для пересекающегося четырёхугольника — рассматриваем вершины на окружности). Различие между выпуклым вписанным и самопересекающимся сводится к порядку вершин на окружности и к проверке пересечений сторон.
Критерии и методы отличия
1) Порядок точек на окружности.
- Если при обходе окружности вершины встречаются в том же порядке, в котором соединяются отрезками $A\to B\to C\to D\to A$, то четырёхугольник простой и выпуклый.
- Если порядок на окружности отличается (например, при обходе окружности встречается $A,C,B,D$ или другое «перемешивание»), то при соединении в данном порядке получится самопересекающийся (перекрёстный) четырёхугольник.
Практически: найдите центр окружности $O$ и полярные углы точек относительно $O$. Если углы возрастают (или убывают) последовательно как $A,B,C,D$ — выпуклый; иначе — пересекающийся.
2) Проверка пересечения противоположных сторон (алгоритмически самый простой тест).
- В выпуклом простом четырёхугольнике противоположные стороны не пересекаются.
- В самопересекающемся ровно одна пара противоположных сторон пересекается (например, отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются или $BC$ и $DA$ пересекаются).
Тест пересечения отрезков $P_1{P}_2$ и $P_3{P}_4$ (ориентации): вычислите ориентации
$\mathrm{orient}(P_1,P_2,P_3)$, $\mathrm{orient}(P_1,P_2,P_4)$,
$\mathrm{orient}(P_3,P_4,P_1)$, $\mathrm{orient}(P_3,P_4,P_2)$,
где для точек $(x_i,y_i)$ $\mathrm{orient}(P,Q,R)=(x_Q-x_P)(y_R-y_Q)-(y_Q-y_P)(x_R-x_Q).$ Отрезки пересекаются в общем положении тогда и только тогда, когда первые две ориентации имеют разные знаки, и вторые две — разные знаки.
3) Ориентации углов (векторный признак выпуклости).
- Четырёхугольник выпуклый тогда и только тогда, когда ориентации всех четырёх тройок смежных вершин $(A,B,C),(B,C,D),(C,D,A),(D,A,B)$ имеют один и тот же знак (все положительные — круговой обход против часовой, или все отрицательные — по часовой).
- Если знаки не одинаковы (например, меняются), то фигура самопересекающаяся.
4) Поведение диагоналей.
- В выпуклом четырёхугольнике диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются и точка пересечения лежит внутри фигуры.
- В самопересекающем диагонали могут пересекаться, но пересечение не является «внутри» в смысле простой области; проще опираться на тест пересечения сторон (п.2).
Примеры (координаты на единичной окружности)
1) Выпуклый вписанный:
- Возьмём вершины под углами $0^{\circ },60^{\circ },180^{\circ },240^{\circ }$:
$A=(\cos 0^{\circ },\sin 0^{\circ })=(1,0),$ $B=(\cos 60^{\circ },\sin 60^{\circ })=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),$ $C=(\cos 180^{\circ },\sin 180^{\circ })=(-1,0),$ $D=(\cos 240^{\circ },\sin 240^{\circ })=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}).$ Порядок по окружности $A\to B\to C\to D$ совпадает с перечислением — выпуклый.
2) Самопересекающийся (вписанный, но перекрёстный):
- Те же четыре точки, но другой порядок: $A=(1,0),B=(-1,0),C=(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}),D=(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}).$ При соединении $A\to B\to C\to D\to A$ отрезки $AB$ и $CD$ пересекутся — получаем самопересекающийся четырёхугольник. Углы по-прежнему в сумме дают $180^{\circ }$ для противоположных пар, потому что все точки на одной окружности.
Краткая инструкция для проверки по данным координатам:
- Найдите центр окружности (если неизвестен) или постройте окружность через три вершины и проверьте четвёртую — это гарантирует вписанность.
- Проверьте порядок углов точек относительно центра (сортировка по аргументам) и сравните с порядком вершин.
- Или примените тест пересечения противоположных сторон по ориентациям — если пересечение есть, то самопересекающийся; если нет и при этом вершины на окружности — выпуклый.
Это даёт полный набор практических критериев и методов для различения выпуклого вписанного и самопересекающегося четырёхугольника при условии, что противоположные углы суммируютcя до $180^{\circ }$.