Кратко: треугольник по трём высотам строится тогда и только тогда, когда их обратные величины удовлетворяют неравенствам треугольника; в этом случае искомый треугольник единствен (с учётом зеркального отражения) и строится через треугольник со сторонами, пропорциональными $1/h_a,1/h_b,1/h_c$, с последующим масштабированием. Ниже — пояснения и пошаговый метод.
Основные соотношения
- Для треугольника со сторонами $a,b,c$ и площадью $\Delta$ высоты связаны с сторонами: $h_a=\frac{2\Delta }{a},h_b=\frac{2\Delta }{b},h_c=\frac{2\Delta }{c}.$ - Отсюда стороны пропорциональны обратным высотам: $a:b:c=\frac{1}{h_a}:\frac{1}{h_b}:\frac{1}{h_c}.$
Условие существования
- Необходимое и достаточное условие: числа $s_a=\frac{1}{h_a},s_b=\frac{1}{h_b},s_c=\frac{1}{h_c}$ должны удовлетворять неравенствам треугольника:
$$s_a<s_b+s_c,s_b<s_a+s_c,s_c<s_a+s_b.$$ Если хотя бы одно равенство, получается вырожденный (вырож.) треугольник; если не выполняется — треугольник по данным высотам не существует.
Уникальность
- Построенный треугольник единственен с точностью до конгруэнтности и зеркального отражения. Дело в том, что стороны пропорциональны $s_a,s_b,s_c$, а общий масштаб определяется из соотношения между площадью и масштабом (см. ниже), что даёт единственное положительное масштабирование.
Метод построения (компас и линейка)
1. Проверить условие существования $s_a,s_b,s_c$ (см. выше).
2. Построить треугольник $T_0$ со сторонами ровно $s_a,s_b,s_c$. (Конструктивно: сначала сконструировать отрезки длины $s_a,s_b,s_c$. Обратные длины $1/h_i$ получают стандартным приёмом деления отрезков/подобия.)
3. Обозначим ${\Delta }_0$ площадь треугольника $T_0$. Тогда для искомого треугольника со сторонами $a,b,c$ найдётся масштаб $\lambda$ такой, что
$$a=\lambda s_a,b=\lambda s_b,c=\lambda s_c,$$ и площадь $\Delta ={\lambda }^2{\Delta }_0$. Из отношения высот $\lambda =2\Delta$ (поскольку $a=\frac{2\Delta }{h_a}=\lambda s_a$) получаем
$$\lambda =2{\lambda }^2{\Delta }_0\Rightarrow \lambda =\frac{1}{2{\Delta }_0}.$$ Это единственное положительное $\lambda$.
4. Сконструировать число $\lambda =\frac{1}{2{\Delta }_0}$. (Площадь ${\Delta }_0$ вычисляется геометрически: через высоту треугольника или через Геронова формула; все операции (сумма, разность, умножение, деление, извлечение корня) осуществимы циркулем и линейкой.)
5. Умножить все стороны $s_a,s_b,s_c$ на масштаб $\lambda$ (геометрическое гомотетическое растяжение от произвольного центра) — получаем искомые стороны $a,b,c$ и строим треугольник с этими сторонами.
Возможные трудности и замечания
- Практически основная трудность — вычисление и геометрическое построение ${\Delta }_0$ и затем $\lambda =1/(2{\Delta }_0)$. Это требует последовательных операций деления и извлечения квадратных корней (например при применении Герона). Теоретически всё выполнимо циркулем и линейкой, но шаги громоздки.
- Если $s_a,s_b,s_c$ почти нарушают неравенство (почти вырожденный случай), конструкция чувствительна к погрешностям.
- Случай, когда одно из $h_i$ равно нулю или бесконечен, не имеет смысла. При равенстве в неравенстве получается вырождённый (прямолинейный) треугольник.
Итог: конструкция возможна тогда и только тогда, когда $\frac{1}{h_a},\frac{1}{h_b},\frac{1}{h_c}$ образуют стороны невырожденного треугольника; результат единственен; конструктивно — построить треугольник с этими обратными длинами, вычислить его площадь ${\Delta }_0$, взять масштаб $\lambda =1/(2{\Delta }_0)$ и выполнить гомотецию.